3.1导数的概念及运算【真题典例】挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.导数的概念与几何意义1.了解导数概念的实际背景2.理解导数的几何意义2017天津文,10导数的几何意义直线方程与截距★★★2.导数的运算1.能根据导数的定义求函数y=C(C为常数),y=x,y=1x,y=x2,y=x32018天津文,102016天津文,10导数的运算指数函数★★★,y=❑√x的导数2.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,了解复合函数的求导法则分析解读本节主要是对导数概念、导数的几何意义及其运算的考查,以导数的运算公式和运算法则为基础,以导数的几何意义为重点.1.导数的几何意义最常见的是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系、切点的坐标,或以平行、垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等.2.导数的运算是每年必考的内容,一般不单独考查,而在考查导数的应用时与单调性、极值或最值综合考查.3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于容易题.破考点【考点集训】考点一导数的概念与几何意义1.(2018课标Ⅰ,5,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x答案D2.(2017课标Ⅰ文,14,5分)曲线y=x2+1x在点(1,2)处的切线方程为.答案x-y+1=0考点二导数的运算3.(2013江西,13,5分)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f'(1)=.答案2炼技法【方法集训】方法1求函数的导数的方法1.曲线f(x)=x2+ax+1在点(1,f(1))处切线的倾斜角为3π4,则实数a=()A.1B.-1C.7D.-7答案C方法2利用导数的几何意义求曲线的切线方程2.(2015陕西,15,5分)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.答案(1,1)3.(2016北京,18,13分)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.解析(1)因为f(x)=xea-x+bx,所以f'(x)=(1-x)ea-x+b.依题设,知{f(2)=2e+2,f'(2)=e-1,即{2ea-2+2b=2e+2,-ea-2+b=e-1.解得a=2,b=e.(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.由f'(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x>0知,f'(x)与1-x+ex-1同号.令g(x)=1-x+ex-1,则g'(x)=-1+ex-1.所以,当x∈(-∞,1)时,g'(x)<0,g(x)在区间(-∞,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-∞,+∞)上的最小值,从而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).综上可知,f'(x)>0,x∈(-∞,+∞).故f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).方法总结(1)曲线在某点处的切线满足两个条件:一是过该点,二是斜率(若斜率存在)等于函数在该点处的导数值.(2)讨论函数的单调性可转化为讨论导函数的符号变化,因此常将导函数作为一个新函数来研究其值域(最值),利用所得结果确定原函数的单调性.过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组考点一导数的概念与几何意义1.(2017天津文,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-lnx的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.答案12.(2017天津文,19,14分)设a,b∈R,|a|≤1.已知函数f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=exf(x).(1)求f(x)的单调区间;(2)已知函数y=g(x)和y=ex的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线.(i)求证:f(x)在x=x0处的导数等于0;(ii)若关于x的不等式g(x)≤ex在区间[x0-1,x0+1]上恒成立,求b的取值范围.解析(1)由f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,可得f'(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)[x-(4-a)].令f'(x)=0,解得x=a,或x=4-a.由|a|≤1,得a<4-a.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表:x(-∞,a)(a,4-a)(4-a,+∞)f'(x)+-+f(x)↗↘↗所以,f(x)的单调递增区间为(-∞,a),(4-a,+∞),单调递减区间为(a,4-a).(2)(i)证明:因为g'(x)=ex[f(x)+f'(x)],由题意知{g(x0)=ex0,g'(x0)=ex0,所以{f(x0)ex0=ex0,ex0[f(x0)+f'(x0)]=ex0,解得{f(x0)=1,f'(x0)=0.所以,f(x)在x=x0处的导数等于0.(ii)因为g(x)≤ex,x∈[x0-1,x0+1],g(x)=exf(x),所以由ex>0,可得f(x)≤1.又因为f(x0)=1,f'(x0)=0,故x0为f(x)的极大值点,由(1)知x0=a.由于|a|≤1,故a+1<4-a,由(1)知f(x)在(a-1,a)内单调递增,在(a,a+1)内单调递减,故当x0=a时,f(x)≤f(a)=1在[a-1,a+1]上恒成立,从而g(x)≤ex在[x0-1,x0+1]上恒成立....
