高考数学大一轮复习 3.2 导数的应用精练-人教版高三数学试题VIP免费

3.2导数的应用挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.导数与函数的单调性1.了解函数单调性和导数的关系2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)2014天津文,19利用导数研究函数的单调性和极值构造新函数、不等式的证明★★★2.导数与函数的极(最)值1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次),会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)2016天津,20利用导数研究函数的极值和最值导数的运算、不等式的证明★★★3.导数的综合应用利用导数解决实际问题2018天津,20利用导数解决函数零点问题利用导数研究指数函数、对数函数的性质★★★2014天津,20利用导数研究函数的性质分析解读函数的单调性是函数的一条重要的性质,也是高中阶段研究的重点.一般分两类考查,一是直接用导数研究函数的单调性、求函数的最值与极值以及实际问题中的优化问题等.二是把导数、函数、方程、不等式、数列等知识相联系,综合考查函数的最值与参数的值(取值范围),常以解答题的形式出现,分值14分,难度较大.破考点【考点集训】考点一导数与函数的单调性1.已知函数f(x)=xx2+1+1,则函数f(x)的单调增区间为.答案(-1,1)2.已知函数f(x)=1ex+alnx(a∈R).(1)当a=1e时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数f(x)在定义域内不单调,求a的取值范围.解析函数f(x)的定义域为(0,+∞),导函数f'(x)=-1ex+ax=aex-xxex.(1)当a=1e时,因为f'(1)=-1e+1e=0,f(1)=1e,所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=1e.(2)f'(x)=aex-xxex(x>0),设函数f(x)在定义域内不单调时,a的取值集合是A;函数f(x)在定义域内单调时,a的取值集合是B,则A=∁RB.函数f(x)在定义域内单调等价于f'(x)≤0恒成立或f'(x)≥0恒成立,即aex-x≤0恒成立或aex-x≥0恒成立,等价于a≤xex恒成立或a≥xex恒成立.令g(x)=xex(x>0),则g'(x)=1-xex,由g'(x)>0得01,所以g(x)在(1,+∞)上单调递减.因为g(1)=1e,且x>0时,g(x)>0,所以g(x)∈(0,1e].所以B={a|a≤0或a≥1e},所以A={a|00),则函数F(x)=g(x)-f(x)()A.有极小值,没有极大值B.有极大值,没有极小值C.至少有两个极小值和一个极大值D.至少有一个极小值和两个极大值答案C4.已知函数y=f(x)的导函数有且仅有两个零点,其图象如图所示,则函数y=f(x)在x=处取得极值.答案-1考点三导数的综合应用5.已知函数f(x)=pe-x+x+1(p∈R).(1)当实数p=e时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)当p=1时,若直线y=mx+1与曲线y=f(x)没有公共点,求实数m的取值范围.解析(1)当p=e时,f(x)=e-x+1+x+1,则f'(x)=-e-x+1+1,∴f(1)=3,f'(1)=0.∴曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=3.(2) f(x)=pe-x+x+1,∴f'(x)=-pe-x+1.①当p≤0时,f'(x)>0,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);②当p>0时,令f'(x)=0,得ex=p,解得x=lnp.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,lnp)lnp(lnp,+∞)f'(x)-0+f(x)↘2+lnp↗所以当p>0时,f(x)的单调递增区间为(lnp,+∞),单调递减区间为(-∞,lnp).(3)当p=1时,f(x)=e-x+x+1,直线y=mx+1与曲线y=f(x)没有公共点等价于关于x的方程mx+1=e-x+x+1在(-∞,+∞)上没有实数解,即关于x的方程(m-1)x=e-x(*)在(-∞,+∞)上没有实数解.①当m=1时,方程(*)化为e-x=0,显然在(-∞,+∞)上没有实数解.②当m≠1时,方程(*)化为xex=1m-1,令g(x)=xex,则有g'(x)=(1+x)ex.令g'(x)=0,得x=-1.当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,+∞)g'(x)-0+g(x)↘-1e↗当x=-1时,g(x)min=-1e,当x趋近于+∞时,g(x)趋近于+∞,从而g(x)的值域为[-1e,+∞).所以当1m-1<-1e,即1-e