第六章数列一．基础题组1.【2005天津，理13】在数列中，，且则__________。【答案】2600【解析】当为奇数时，；当为偶数时，因此，数列的奇数各项都是1，偶数项成公差为2的等差数列本题答案填写：26002.【2006天津，理7】已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和等于（）A．55B．70C．85D．100【答案】C3.【2006天津，理16】设函数，点表示坐标原点，点，若向量，是与的夹角，（其中），设，则=．【答案】1【解析】设函数，点表示坐标原点，点，若向量=，是与的夹角，（其中），设，则=1．4.【2007天津，理8】设等差数列的公差不为0.若是与的等比中项，则()A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】是与的等比中项可得(*)，由为等差数列可得及代入(*)式可得.故选B5.【2007天津，理13】设等差数列的公差是2，前项的和为则.【答案】3【解析】根据题意知代入极限式得6.【2008天津，理15】已知数列中，，则.【答案】7.【2009天津，理6】设a＞0,b＞0.若是3a与3b的等比中项,则的最小值为（）A.8B.4C.1D.【答案】B【解析】是3a与3b的等比中项3a·3b＝33a+b＝3a+b＝1, a＞0,b＞0,∴.∴.8.【2010天津，理6】已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为()A.或5B.或5C.D.【答案】C法二： S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋S3·q3，∴9S3＝S3＋S3·q3得q3＝8，解得q＝2.∴{}是首项为1，公比为的等比数列．∴其前5项和为9.【2011天津，理4】已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前项和，，则的值为A．-110B．-90C．90D．110【答案】D.【解析】 ，∴，解之得，∴.10.【2014天津，理11】设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和．若成等比数列，则的值为__________．【答案】．【解析】试题分析：依题意得，∴，解得．考点：1．等差数列、等比数列的通项公式；2．等比数列的前项和公式．二．能力题组1.【2005天津，理18】已知：。（Ⅰ）当a=b时，求数列{}的前n项和；（Ⅱ）求。【答案】（Ⅰ）若，,若，则（Ⅱ）当时，，,当时，【解析】解：（I）当时，，它的前项和①①两边同时乘以，得②①②，得：若，则：得：若，则2.【2006天津，理21】已知数列满足，并且（为非零参数，）．（1）若成等比数列，求参数的值；（2）当时，证明；当时，证明.【答案】（1）（2）（I）详见解析，（II）详见解析【解析】（I）解：由已知，且若、、成等比数列，则（III）证明：当时，由（II）可知又由（II）则从而因此3.【2012天津，理18】已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10．(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)记Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，证明Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N*)．【答案】(1)an＝3n－1，bn＝2n，(2)详见解析【解析】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d．由条件，得方程组解得所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*．(2)证明：(方法一)由(1)得Tn＝2an＋22an－1＋23an－2＋…＋2na1，①2Tn＝22an＋23an－1＋…＋2na2＋2n＋1a1．②由②－①，得Tn＝－2(3n－1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n＋2n＋2＝＋2n＋2－6n＋2＝10×2n－6n－10．而－2an＋10bn－12＝－2(3n－1)＋10×2n－12＝10×2n－6n－10，故Tn＋12＝－2an＋10bn，n∈N*．(方法二：数学归纳法)①当n＝1时，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立；4.【2013天津，理19】已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn＝(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最大项的值为，最小项的值为.【解析】解：(1)设等比数列{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是.又{an}不是递减数列且，所以.故等比数列{an}的通项公式为.(2)由(1)得当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1＜Sn≤S1＝，故.当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以＝S2≤Sn＜1...
