第六次月考数学理试题【天津版】一、选择题（每题5分，共8道）1、设复数z1=1+i,z2=2+bi,若为纯虚数,则实数b=()A.-2B.2C.-1D.12、不等式组表示的平面区域是()3、已知,,则()A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a4、阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为()A.7B.9C.10D.115、已知双曲线C的离心率为2,焦点为,点A在C上.若||=2||,则cos∠=()A.B.C.D.6、已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示,则四棱锥P-ABCD的四个侧面中的最大面积是()A.3B.8C.D.6；7、已知正项等比数列{an}满足,若存在两项,使得,则的最小值为()A.B.C.D.不存在8、已知定义在R上的函数y=f(x)对于任意的x都满足f(x+1)=-f(x),当-1≤x<1时,,若函数至少有6个零点,则a的取值范围是()A.∪(5,+∞)B.∪[5,+∞)C.∪(5,7)D.∪[5,7)二、填空题（每题5分，共6道）9、某地区有小学150所，中学75所，大学25所。现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取60所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取所学校，中学中抽取所学校.10、如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF·DB=________.11、若,则二项式的展开式中常数项是________.12、已知直线的参数方程是（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，则直线被圆所截得的弦长等于.13、已知，，当“x”是“x”的充分不必要条件，则的取值范围是.14、在的边、上分别取、，使，，与交于点，若，，则.三、解答题15、（13分）已知△ABC的内角为A、B、C,其对边分别为a、b、c,B为锐角,向量,且.(1)求角B的大小;(2)如果b=2,求S△ABC的最大值.16、（13分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).(1)从这15天的PM2.5监测数据中,随机抽取三天,求恰有一天空气质量达到一级的概率;(2)从这15天的数据中任取三天数据,记ξ表示抽取PM2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列;(3)以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按360天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级?PM2.5日均值(微克/立方米)285371434456387986392517、（13分）如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,PA⊥PD,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O为AD中点.(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值;(2)求B点到平面PCD的距离;(3)线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.18、（13分）已知数列{an}的前n项和为Sn,且.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设,数列{cn}的前n项和为Tn,求使不等式Tn>对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值;(3)设,是否存在m∈N*,使得f(m+15)=5f(m)成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.19、（14分）椭圆E:(a>b>0)的焦点到直线x-3y=0的距离为,离心率为;抛物线G:y2=2px(p>0)的焦点与椭圆E的焦点重合;斜率为k的直线l过G的焦点,与E交于A,B,与G交于C,D.(1)求椭圆E及抛物线G的方程;(2)是否存在常数λ,使为常数,若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由.20、（14分）已知函数f(x)=elnx,g(x)=lnx-x-1,h(x)=x2.(1)求函数g(x)的极大值;(2)求证:存在x0∈(1,+∞),使g(x0)=g;(3)对于函数f(x)与h(x)定义域内的任意实数x,若存在常数k,b,使得f(x)≤kx+b和h(x)≥kx+b都成立,则称直线y=kx+b为函数f(x)与h(x)的分界线.试探究函数f(x)与h(x)是否存在“分界线”?若存在,请给予证明,并求出k,b的值;若不存在,请说明理由.参考答案一、选择题：题号12345678答案ABCBADAA二、填空题：9、36，1810、511、12、413、14、12三、解答题：15、[详细分析]（1）//（为锐角）（2）由得 ，∴.∴即的最大值为.16、[详细分析]（1）记“从15天的PM2.5监测数据中，随机抽取三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件，（4分）（2）依据条件，服从超几何分布：其中...
