课后作业(二十一)简单的三角恒等变换一、选择题1．(2013·温州模拟)设a＝cos6°－sin6°，b＝2sin13°cos13°，c＝，则有()A．a＞b＞cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．a＜c＜b2．已知函数f(x)＝cos2(＋x)－cos2(－x)，则f()等于()A.B．－C.D．－3．已知x∈(2kπ－π，2kπ＋)(k∈Z)，且cos(－x)＝－，则cos2x的值是()A．－B．－C.D.4．已知cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为()A.B.C.D．－15．若f(x)＝2tanx－，则f()的值为()A．4B.C．4D．86．(2012·湖南高考)函数f(x)＝sinx－cos(x＋)的值域为()A．[－2，2]B．[－，]C．[－1，1]D．[－，]二、填空题7．(2012·大纲全国卷)当函数y＝sinx－cosx(0≤x<2π)取得最大值时，x＝________．8．已知sin(－)＝，x∈(0，)，则tanx＝________．9．已知α是第三象限角，且sinα＝－，则tan＝________．三、解答题10．已知α∈(0，)，β∈(，π)，cos2β＝－，sin(α＋β)＝(1)求cosβ的值；(2)求sinα的值．11．(2012·重庆高考)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x＝处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为.(1)求f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝的值域．图3－6－112．(2012·四川高考)函数f(x)＝6cos2＋sinωx－3(ω>0)在一个周期内的图象如图3－6－1所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．(1)求ω的值及函数f(x)的值域；(2)若f(x0)＝，且x0∈(－，)，求f(x0＋1)的值．解析及答案一、选择题1．【解析】a＝sin24°，b＝sin26°，c＝sin25°，∵sin24°＜sin25°＜sin26°，∴a＜c＜b.【答案】D2．【解析】f(x)＝cos2(＋x)－sin2(x＋)＝－sin2x，∴f()＝－sin＝－.【答案】B3．【解析】∵x∈(2kπ－π，2kπ＋)(k∈Z)，∴cosx－sinx＞0，即sin(－x)＝(cosx－sinx)＞0，∴sin(－x)＝.又∵cos2x＝sin(－2x)＝2sin(－x)cos(－x)，∴cos2x＝2××(－)＝－.【答案】B4．【解析】sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝1－(1－cos22θ)＝.【答案】B5．【解析】f(x)＝2tanx－＝＋＝＋＝＝，所以f()＝＝8.【答案】D6．【解析】∵f(x)＝sinx－cos(x＋)＝sinx－cosxcos＋sinxsin＝sinx－cosx＋sinx＝(sinx－cosx)＝sin(x－)(x∈R)，∴f(x)的值域为[－，]．【答案】B二、填空题7．【解析】∵y＝sinx－cosx(0≤x<2π)，∴y＝2sin(x－)(0≤x<2π)．由0≤x<2π知，－≤x－<，∴当y取得最大值时，x－＝，∴x＝π.【答案】π8．【解析】∵sin(－)＝∴cos(－x)＝1－2sin2(－)＝1－2×＝即sinx＝，又x∈(0，)∴cosx＝∴tanx＝【答案】9．【解析】∵α是第三角限角且sinα＝－∴cosα＝－＝－＝－∴tan＝＝－【答案】－三、解答题10．【解】(1)cos2β＝＝＝，又∵β∈(，π)，∴cosβ＝－.(2)由(1)知sinβ＝＝＝.由α∈(0，)、β∈(，π)得(α＋β)∈(，)．cos(α＋β)＝－＝－＝－.sinα＝sin(α＋β－β)＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝×(－)－(－)×＝.11．【解】(1)由题设条件知f(x)的周期T＝π，即＝π，解得ω＝2.因为f(x)在x＝处取得最大值2，所以A＝2.从而sin(2×＋φ)＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又由－π＜φ≤π，得φ＝.故f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋)．(2)g(x)＝＝＝＝cos2x＋1(cos2x≠)．因cos2x∈[0，1]，且cos2x≠，故g(x)的值域为[1，)∪(，]．12．【解】(1)由已知可得，f(x)＝3cosωx＋sinωx＝2sin(ωx＋)．又正三角形ABC的高为2，从而BC＝4.所以函数f(x)的周期T＝4×2＝8，即＝8，ω＝.函数f(x)的值域为[－2，2]．(2)因为f(x0)＝，由(1)有f(x0)＝2sin(＋)＝，即sin(＋)＝.由x0∈(－，)，知＋∈(－，)．所以cos(＋)＝＝.故f(x0＋1)＝2sin(＋＋)＝2sin[(＋)＋]＝2[sin(＋)cos＋cos(＋)sin]＝2×(×＋×)＝.
