课后作业(四十一)空间几何体的表面积与体积一、选择题1．(2012·课标全国卷)如图7－2－11，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()图7－2－11A．6B．9C．12D．182．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为()A.πB．56πC．14πD．64π图7－2－123．如图7－2－12所示，已知三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1—ABC1的体积为()A.B.C.D.图7－2－134．(2013·大连模拟)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如图7－2－13所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是()A．4B．2C．2D.5．(2013·西安八校联考)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图7－2－14所示，其顶点都在一个球面上，则球的表面积为()图7－2－14A.πB.πC.D.图7－2－156．(2012·合肥质检)若正四棱锥的正视图如图7－2－15所示，则该正四棱锥的体积是()A.B.C.D.二、填空题7．(2012·辽宁高考)一个几何体的三视图如图7－2－16所示，则该几何体的表面积为________．图7－2－168．圆锥的全面积为15πcm2，侧面展开图的圆心角为60°，则该圆锥的体积为________cm3.9．一个几何体的三视图如图7－2－17，该几何体的表面积为________．图7－2－17三、解答题10．若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．11．如图7－2－18，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．图7－2－18(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．图7－2－1912．如图7－2－19，已知平行四边形ABCD中，BC＝2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，G，H分别是DF，BE的中点．记CD＝x，V(x)表示四棱锥F—ABCD的体积．(1)求V(x)的表达式；(2)求V(x)的最大值．解析及答案一、选择题1．【解析】由题意知，此几何体是三棱锥，其高h＝3，相应底面面积为S＝×6×3＝9，∴V＝Sh＝×9×3＝9.【答案】B2．【解析】设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，则，得令球的半径为R，则(2R)2＝22＋12＋32＝14，∴R2＝，∴S球＝4πR2＝14π.【答案】C3．【解析】在△ABC中，BC边长的高为，即棱锥A—BB1C1上的高为，又S△BB1C1＝，∴VB1—ABC1＝VA—BB1C1＝××＝.【答案】A4．【解析】设底面边长为x，则V＝x3＝2，∴x＝2.由题意知这个正三棱柱的左视图为长为2，宽为的矩形，其面积为2.【答案】B5．【解析】如图所示，F、H是正三棱柱上下底面的中心，则球心O是FH的中点，由三视图知AB＝2，FH＝1，则AE＝，AF＝，OF＝，∴OA＝＝，∴球的表面积S球＝4πOA2＝.【答案】C6．【解析】由题易知，该四棱锥底面正方形的对角线的长度为2，故边长为，又该四棱锥的高为，故其体积为×2×＝.【答案】D二、填空题7．【解析】根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱，所以S＝2×(4＋3＋12)＋2π－2π＝38.【答案】388．【解析】设底面圆的半径为r，母线长为a，则侧面积为×(2πr)a＝πra.由题意得，解得，故圆锥的高h＝＝5，所以体积为V＝πr2h＝π××5＝π(cm3)．【答案】π9．【解析】该几何体的直观图如图所示，将小长方体的上底面补到大长方体被遮住的部分，则所求的表面积为小长方体的侧面积加上大长方体的表面积，∴S＝S侧＋S表＝6×8×2＋2×8×2＋(2×8＋2×10＋8×10)×2＝360.【答案】360三、解答题10．【解】在底面正六边形ABCDEF中，连接BE、AD交于O，连接BE1，则BE＝2OE＝2DE，∴BE＝，在Rt△BEE1中，BE1＝＝2，∴2R＝2，则R＝，∴球的体积V球＝πR3＝4π，球的表面积S球＝4πR2＝12π.11．【解】(1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q—A1D1P的组合体．由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝(22＋4)(cm2)，所求几何体的体积V＝23＋×()2×2＝10(cm3)．12．【解】(1)∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD.∵BD⊥CD，BC＝2，CD＝x，∴FA＝2，BD＝(0＜x＜2)，∴S▱ABCD＝CD·BD＝x，∴V(x)＝S▱ABCD·FA＝x(0＜x＜2)．(2)V(x)＝x＝＝.∵0＜x＜2，∴0＜x2＜4，∴当x2＝2，即x＝时，V(x)取得最大值，且V(x)max＝.
