课后作业(二十四)平面向量的基本概念及线性运算一、选择题1．(2013·宁波模拟)若a＋c与b都是非零向量，则“a＋b＋c＝0”是“b∥(a＋c)”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．下列命题中是真命题的是()①对任意两向量a、b，均有：|a|－|b|＜|a|＋|b|；②对任意两向量a、b，a－b与b－a是相反向量；③在△ABC中，AB＋BC－AC＝0；④在四边形ABCD中，(AB＋BC)－(CD＋DA)＝0；⑤AB－AC＝BC.A．①②③B．②④⑤C．②③④D．②③3．设P是△ABC所在平面内的一点，BC＋BA＝2BP，则()A.PA＋PB＝0B.PC＋PA＝0C.PB＋PC＝0D.PA＋PB＋PC＝04．在▱ABCD中，下列结论中错误的是()A.AB＝DCB.AB＋AD＝ACC.AB－AD＝BDD.AD＋CB＝05．(2013·武汉模拟)已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件是()A．λ＝0B．e2＝0C．e1∥e2D．e1∥e2或λ＝06．(2013·郑州模拟)已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝()A．2B．3C．4D．5二、填空题7．如图4－1－3所示，向量a－b＝________(用e1，e2表示)．图4－1－38．若|AB|＝8，|AC|＝5，则|BC|的取值范围是________．9．已知向量a，b是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a、b共线的条件是________(将正确的序号填在横线上)．①2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e；②存在相异实数λ、μ，使λa＋μb＝0；③xa＋yb＝0(实数x，y满足x＋y＝0)；④若四边形ABCD是梯形，则AB与CD共线．三、解答题图4－1－410．(2013·济南模拟)如图4－1－4所示，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，求实数m的值．11．设a，b是不共线的两个非零向量．(1)若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求证：A、B、C三点共线．(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．(3)若AB＝a＋b，BC＝2a－3b，CD＝2a－kb，且A、C、D三点共线，求k的值．12．设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足OP＝OA＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)．求点P的轨迹，并判断点P的轨迹通过下述哪一个定点：①△ABC的外心；②△ABC的内心；③△ABC的重心；④△ABC的垂心．解析及答案一、选择题1．【解析】若a＋b＋c＝0，则b＝－(a＋c)，∴b∥(a＋c)；若b∥(a＋c)，则b＝λ(a＋c)，当λ≠－1时，a＋b＋c≠0，因此“a＋b＋c＝0”是“b∥(a＋c)”的充分不必要条件．【答案】A2．【解析】①假命题． 当b＝0时，|a|－|b|＝|a|＋|b|.∴该命题不成立．②真命题，这是因为(a－b)＋(b－a)＝a＋(－b)＋b＋(－a)＝a＋(－a)＋b＋(－b)＝(a－a)＋(b－b)＝0，∴a－b与b－a是相反向量．③真命题． AB＋BC－AC＝AC－AC＝0，∴命题成立．④假命题． AB＋BC＝AC，CD＋DA＝CA，∴(AB＋BC)－(CD＋DA)＝AC－CA＝AC＋AC≠0，∴该命题不成立．⑤假命题． AB－AC＝AB＋CA＝CB≠BC，∴该命题不成立．【答案】D3．【解析】由BC＋BA＝2BP知，点P是线段AC的中点，则PC＋PA＝0，故选B.【答案】B4．【解析】A显然正确；由平行四边形法则知B正确，C中AB－AD＝DB＝－BD，故C错误；D中AD＋CB＝AD＋DA＝0，故D正确．【答案】C5．【解析】若e1与e2共线，则e2＝λ′e1，∴a＝(1＋λλ′)e1，此时a∥b，若e1与e2不共线，设a＝μb，则e1＋λe2＝μ·2e1，∴λ＝0，1－2μ＝0，故选D.【答案】D6．【解析】由MA＋MB＋MC＝0易得M是△ABC的重心，且重心M分中线AE的比为AM∶ME＝2∶1，∴AB＋AC＝2AE＝mAM＝·AE，∴＝2.∴m＝3.【答案】B二、填空题7．【解析】由图知，a－b＝BA＝e1＋(－3e2)＝e1－3e2.【答案】e1－3e28．【解析】 BC＝AC－AB，当AB、AC同向时，|BC|＝8－5＝3，当AB、AC反向时，|BC|＝8＋5＝13，当AB、AC不共线时，3＜|BC|＜13，综上可知3≤|BC|≤13.【答案】[3，13]9．【解析】由①得10a－b＝0，故①对．②对．对于③，当x＝y＝0时，a与b不一定共线，故③不对．若AB∥CD，则AB与CD共线，若AD∥BC，则AB与CD不共线，故④不对．【答案】①②三、解答题10．【解】如题图所示，AP＝AB＋BP， P为BN上一点，则BP＝kBN，∴AP＝AB＋kBN＝AB＋k(AN－AB)又AN＝NC，即AN＝AC，因此AP＝(1－k)AB＋AC，所以1－k＝m，且＝，解得k＝，则m＝1－...
