课后作业(二十六)平面向量的数量积一、选择题1．(2012·福建高考)已知向量a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，则a⊥b的充要条件是()A．x＝－B．x＝－1C．x＝5D．x＝02．(2012·安徽蚌埠质检)在三角形ABC中，AB·AC＝|AB－AC|＝6，M为BC边的中点，则中线AM的长为()A.B.C.D.3．(2013·广州模拟)若向量a,b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()A．4B．3C．2D．04．(2012·重庆高考)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝()A.B.C．2D．105．已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为120°，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则向量a＋b与向量c的夹角θ的值为()A．30°B．60°C．120°D．150°6．(2013·哈尔滨模拟)已知两个单位向量a与b的夹角为135°，则|a＋λb|＞1的充要条件是()A．λ∈(0，)B．λ∈(－，0)C．λ∈(－∞，－)∪(，＋∞)D．λ∈(－∞，0)∪(，＋∞)二、填空题7．(2012·湖北高考)已知向量a＝(1，0)，b＝(1，1)，则(1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为________；(2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为________．8．(2013·合肥模拟)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a＋b在a方向上的投影为________．9．(2013·青岛模拟)设i、j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且OA＝－2i＋j，OB＝4i＋3j，则△OAB的面积等于________．三、解答题10．已知a＝(1，2)，b＝(1，1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值．12．(2013·安阳模拟)已知点A(1，0)，B(0，1)，C(2sinθ，cosθ)．(1)若|AC|＝|BC|，求的值；(2)若(OA＋2OB)·OC＝1，其中O为坐标原点，求sinθ·cosθ的值．解析及答案一、选择题1．【解析】∵a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，∴a·b＝2(x－1)＋2×1＝2x.又a⊥b⇔a·b＝0，∴2x＝0，∴x＝0.【答案】D2．【解析】由题可知AM＝(AB＋AC)，∴|AM|2＝(AB＋AC)2＝[(AB－AC)2＋4AB·AC]＝[|AB－AC|2＋4AB·AC]＝×(36＋24)＝15.∴|AM|＝，故选B.【答案】B3．【解析】∵a⊥c，∴a·c＝0，又∵a∥b，则设b＝λa，∴c·(a＋2b)＝(1＋2λ)c·a＝0.【答案】D4．【解析】∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0，∴x＝2，∴a＝(2，1)，∴a2＝5，b2＝5，|a＋b|＝＝＝＝.【答案】B5．【解析】∵(a＋b)·c＝a·c＋b·c＝1×3×cos120°＋2×3×cos120°＝－，|a＋b|＝＝＝＝，∴cosθ＝＝＝－，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°.【答案】D6．【解析】|a＋λb|＞1⇔a2＋2λa·b＋λ2b2＞1，⇔λ2－λ＞0，⇔λ＞或λ＜0.【答案】D二、填空题7．【解析】(1)∵2a＋b＝(3，1)，∴|2a＋b|＝＝.∴与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为＝(，)．(2)∵b－3a＝(－2，1)，∴|b－3a|＝，|a|＝1，(b－3a)·a＝(－2，1)·(1，0)＝－2，∴cos〈b－3a，a〉＝＝＝－.【答案】(1)(，)(2)－8．【解析】(a＋b)·a＝a2＋a·b＝1＋1×2×cos60°＝2，则a＋b在a方向上的投影为＝2.【答案】29．【解析】由题意知OA＝(－2，1)，OB＝(4，3)，则|OA|＝，|OB|＝5，OA·OB＝－2×4＋1×3＝－5，∴cos∠AOB＝＝＝－，∴sin∠AOB＝，∴S△OAB＝|OA||OB|sin∠AOB＝××5×＝5.【答案】5三、解答题10．【解】∵a与a＋λb均为非零向量，且夹角为锐角，∴a·(a＋λb)＞0，即(1，2)·(1＋λ，2＋λ)＞0，∴(1＋λ)＋2(2＋λ)＞0，∴λ＞－，当a与a＋λb共线时，存在实数m，使a＋λb＝ma，即(1＋λ，2＋λ)＝m(1，2)，∴，∴λ＝0，即当λ＝0时，a与a＋λb共线．综上可知，λ的取值范围为{λ|λ＞－且λ≠0}．11．【解】(1)由题设知AB＝(3，5)，AC＝(－1，1)，则AB＋AC＝(2，6)，AB－AC＝(4，4)．所以|AB＋AC|＝2，|AB－AC|＝4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知OC＝(－2，－1)，AB－tOC＝(3＋2t，5＋t)．由(AB－tOC)·OC＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.12．【解】∵A(1，0)，B(0，1)，C(2sinθ，cosθ)，∴AC＝(2sinθ－1，cosθ)，BC＝(2sinθ，cosθ－1)．(1)|AC|＝|BC|，∴＝，化简得2sinθ＝cosθ，所以tanθ＝，∴＝＝＝－5.(2)OA＝(1，0)，OB＝(0，1)，OC＝(2sinθ，cosθ)，∴OA＋2OB＝(1，2)，∵(OA＋2OB)·OC＝1，∴2sinθ＋2cosθ＝1.∴(sinθ＋cosθ)2＝，∴1＋2sinθcosθ＝，∴sinθ·cosθ＝－.
