课后作业(二十八)数系的扩充与复数的引入一、选择题1．(2012·山东高考)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为()A．3＋5iB．3－5iC．－3＋5iD．－3－5i2．(2012·江西高考)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z是z的共轭复数，则z2＋z2的虚部为()A．0B．－1C．1D．－2图4－5－33．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是()A．EB．FC．GD．H4．(2012·合肥模拟)若复数(－≤α≤，i为虚数单位)是纯虚数，则角α的值为()A.B．－C．0D．－5．(2013·哈尔滨模拟)已知复数z1＝1－i，z2＝2－2i，则z1·z2等于()A．8B．－8C．8iD．－8i6．若z＝cosθ＋isinθ(i是虚数单位)，则z2＝－1的θ值可能是()A.B.C.D.二、填空题7．(2013·深圳模拟)若复数(a＋i)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是________．8．已知i是虚数单位，则i＋i2＋i3＋…＋i2013＝________．9．已知复数z1＝cos23°＋isin23°和复数z2＝cos37°＋isin37°，则z1·z2＝________．三、解答题10．(2013·上海模拟)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.11．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．12．已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．解析及答案一、选择题1．【解析】∵z(2－i)＝11＋7i，∴z＝＝＝＝3＋5i.【答案】A2．【解析】∵z＝1＋i，∴z＝1－i，z2＋z2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i－2i＝0.【答案】A3．【解析】由图可得z＝3＋i，∴＝＝＝＝2－i.对应的点为(2，－1)，即点H.【答案】D4．【解析】＝＝－i，∵该复数为纯虚数，∴2sinα－1＝0，∴sinα＝，又－≤α≤，故α＝.【答案】A5．【解析】∵z1＝1＋i，z2＝2＋2i，∴z1·z2＝(1＋i)(2＋2i)＝2＋2i2＋6i＋2i＝8i.【答案】C6．【解析】∵z2＝(cosθ＋isinθ)2＝cos2θ－sin2θ＋2isinθcosθ＝cos2θ＋isin2θ＝－1，∴∴θ＝时符合要求，故选D.【答案】D二、填空题7．【解析】(a＋i)2＝a2－1＋2ai，由题意知a2－1＝0且2a＜0，∴a＝－1.【答案】－18．【解析】∵in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0，∴i＋i2＋i3＋…＋i2013＝i.【答案】i9．【解析】z1·z2＝(cos23°＋isin23°)(cos37°＋isin37°)＝(cos23°cos37°－sin23°sin37°)＋i(cos23°sin37°＋sin23°cos37°)＝cos60°＋isin60°＝＋i.【答案】＋i三、解答题10．【解】∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1＝＋2＝＋2＝2－i，设z2＝a＋2i(a∈R)，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i又z1·z2是实数，∴a＝4，从而z2＝4＋2i.11．【解】如图，z1、z2、z3分别对应点A、B、C.∴AB＝OB－OA，∴AB所对应的复数为z2－z1＝(－2＋i)－(1＋2i)＝－3－i，在正方形ABCD中，DC＝AB，∴DC所对应的复数为－3－i，又DC＝OC－OD，∴OD＝OC－DC所对应的复数为z3－(－3－i)＝(－1－2i)－(－3－i)＝2－i，∴第四个顶点对应的复数为2－i.12．【解】设z＝x＋yi(x，y∈R)，z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i，由题意得x＝4，∴z＝4－2i∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，根据条件，可知解得2＜a＜6.∴实数a的取值范围是(2，6)．
