1习题七1.设总体X服从二项分布b（n，p），n已知，X1，X2，⋯，Xn为来自X的样本，求参数p的矩法估计.【解】1(),(),EXnpEXAX因此np=X所以p的矩估计量?Xpn2.设总体X的密度函数f（x,θ）=22(),0,0,.xx其他X1，X2，⋯，Xn为其样本，试求参数θ的矩法估计.【解】23022022()()d,233xxEXxxx令E(X)=A1=X,因此3=X所以θ的矩估计量为^3.X3.设总体X的密度函数为f（x，θ），X1，X2，⋯，Xn为其样本，求θ的极大似然估计.（1）f（x，θ）=,0,0,0.exxx（2）f（x，θ）=1,01,0,.xx其他【解】（1）似然函数111(,)eeeniiinnxxnniiiLfx1lnlnniigLnx由1ddln0ddniigLnx知1?niinx所以θ的极大似然估计量为1?X.2(2)似然函数11,01nniiiLxxg,i=1,2,⋯,n.1lnln(1)lnniiLnx由1dlnln0dniiLnx知11?lnlnnniiiinnxx所以θ的极大似然估计量为1?lnniinx4.从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10人的收益率数据，结果如下：序号12345678910收益率0.01-0.11-0.12-0.09-0.13-0.30.1-0.09-0.1-0.11求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值.【解】0.094x0.101893s9n?0.094.EXx由222221()()[()],()niixEXDXEXEXAn知222??[()]EXA,即有10222211??[()][10()]10iiAEXXX于是9?0.90.101890.096610s所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966.5.随机变量X服从［0，θ］上的均匀分布，今得X的样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计.【解】(1)()2EX,令()EXX，则?2X且?()2()2()EEXEX,所以θ的矩估计值为?220.61.2x且?2X是一个无偏估计.3(2)似然函数8811(,)iiLfx,i=1,2,⋯,8.显然L=L(θ)↓(θ>0)，那么18max{}iix时，L=L(θ)最大,所以θ的极大似然估计值?=0.9.因为E(?)=E(18max{}iix)≠θ,所以?=18max{}iix不是θ的无偏计.6.设X1，X2，⋯，Xn是取自总体X的样本，E（X）=μ，D（X）=σ2，2?=k1211()niiiXX,问k为何值时2?为σ2的无偏估计.【解】令1,iiiYXXi=1,2,⋯,n-1,则21()()()0,()2,iiiiEYEXEXDY于是1222211?[()](1)2(1),niiEEkYknEYnk那么当22?()E,即222(1)nk时,有1.2(1)kn7.设X1，X2是从正态总体N（μ，σ2）中抽取的样本112212312211311???;;;334422XXXXXX试证123???,,都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差.【证明】（1）11212212121?()()(),333333EEXXEXEX21213?()()()44EEXEX,31211?()()(),22EEXEX所以123???,,均是μ的无偏估计量.(2)22221122145?()()(),3399DDXDXX4222212135?()()(),448DDXDX223121?()()(),22DDXDX8.某车间生产的螺钉，其直径X~N（μ，σ2），由过去的经验知道σ2=0.06,今随机抽取6枚，测得其长度（单位mm）如下：14.715.014.814.915.115.2试求μ的置信概率为0.95的置信区间.【解】n=6,σ2=0.06,α=1-0.95=0.05,0.25214.95,1.96,axuu,μ的置信度为0.95的置信区间为/2(14.950.11.96)(14.754,15.146)xun.9.总体X~N(μ,σ2)，σ2已知，问需抽取容量n多大的样本，才能使μ的置信概率为1-α，且置信区间的长度不大于L？【解】由σ2已知可知μ的置信度为1-α的置信区间为/2xun,于是置信区间长度为/22ung,那么由/22ung≤L,得n≥22/224()uL10.设某种砖头的抗压强度X~N（μ，σ2），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kg·cm-2）：64694992559741848899846610098727487844881（1）求μ的置信概率为0.95的置信区间.（2）求σ2的置信概率为0.95的置信区间.【解】76.6,18.14,10.950.05,20,xsn/20.025222/20.0250.975(1)(19)2.093,(1)(19)32.852,(19)8.907tntn(1)μ的置信度为0.95的置信区间/218.14(1)76.62.093(68.11,85.089)20asxtnn(2)2的置信度为0.95的置信区间5222222/21/2(1)(1)1919,18.14,18.14(190.33,702.01)(1)(1)32.8528.907nsnsnn11.设总体X~f(x)=(1),01;10,.xx其中其他X1,X2,⋯,Xn是X的一个样本，求θ的矩估计量及极大似然估计量.【解】(1)1101()()d(1)d,2EXxfxxxx又1(),2XEX故21?1XX所以θ的矩估计量21?.1XX(2)似然函数11(1)01(1,2,,)()()0nnniiiiixxinLLfxL其他.取对数11lnln(1)ln(01;1),dlnln0,d1niiiniiLnxxinLnx所以θ的极大似然估计量为1?1.lnniinX12.设总体X~f(x)=36(),0;0,...
