一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·江西卷)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于()A．－24B．0C．12D．24解析由x,3x＋3,6x＋6，…为等比数列，得(3x＋3)2＝x(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1，而x＝－1时3x＋3＝0不合题意，故舍去，知此数列为首项为－3，公比为2的等比数列，第四项为(－3)×23＝－24，选A.答案A2．(2013·福建泉州质检)若数列{an}是等差数列，且a3＋a7＝4，则数列{an}的前9项和S9等于()A.B．18C．27D．36解析S9＝＝＝＝18.答案B3．(2013·黑龙江哈尔滨六校联考)已知各项为正数的等差数列{an}的前20项和为100，那么a7a14的最大值为()A．25B．50C．100D．不存在解析因为{an}为各项为正数的等差数列，且前20项和为100，所以＝100，即a1＋a20＝10，所以a7＋a14＝10.又因为a7·a11≤2＝25，当且仅当a7＝a14时“＝”成立．答案A4．等比数列{an}中，a4a5＝1，a8a9＝16，则a6a7等于()A．16B．±4C．－4D．4解析设等比数列{an}的公比为q.则＝＝q8＝16.∴＝＝q4＝4，∴a6a7＝4.答案D5．在数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于()A．(3n－1)2B.(9n－1)C．9n－1D.(3n－1)解析由a1＋a2＋…＋an＝3n－1①得：a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1(n≥2)．②①－②得：an＝3n－3n－1＝2·3n－1(n≥2)．又当n＝1时，a1＝2也适合上式，∴an＝2·3n－1，∴a＝4·9n－1.∴a＋a＋…＋a＝4(90＋91＋…＋9n－1)＝4·＝(9n－1)．答案B6．(2013·福建卷)已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是()A．数列{bn}为等差数列，公差为qmB．数列{bn}为等比数列，公比为q2mC．数列{cn}为等比数列，公比为qm2D．数列{cn}为等比数列，公比为qmm解析cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m＝a1qm(n－1)·a1qm(n－1)＋1·…·a1qm(n－1)＋m－1＝aqm(n－1)＋m(n－1)＋1＋…＋m(n－1)＋m－1＝aqm2(n－1)＋＝aqm2(n－1)＋所以cn＋1＝aqm2n＋，所以＝qm2，所以数列{cn}为等比数列，公比为qm2.答案C二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．(2013·北京卷)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.解析由a3＋a5＝q(a2＋a4)，得q＝2，又a2＋a4＝a1(q＋q3)＝20，∴a1＝2，∴Sn＝＝2n＋1－2.答案22n＋1－28．等比数列{an}中，已知a1＋a2＝，a3＋a4＝1，则a7＋a8的值为______．解析设等比数列{an}的公比为q，则a3＋a4＝a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)q2＝q2＝1.∴q2＝2，∴a7＋a8＝a3·q4＋a4q4＝q4(a3＋a4)＝4.答案49．(2013·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．解析{an}等差数列，由S10＝0，得a1＋a10＝0，即2a1＋9d＝0；由S15＝15a8＝25，得a8＝，即a1＋7d＝，解得a1＝－3，d＝，此时nSn＝－，令f(x)＝－，令f′(x)＝x2－x＝0，得x＝；f(x)在x＝处取极小值，故检验n＝6时，6S6＝－48；n＝7时7S7＝－49.答案－49三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)(2013·全国大纲卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．解设{an}的公差为d.由S3＝a得3a2＝a，故a2＝0或a2＝3.由S1，S2，S4成等比数列，得S＝S1S4.又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)．若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d＝0，此时Sn＝0，不合题意；若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d＝0或d＝2.因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1.11．(本小题10分)(2013·陕西卷)设{an}是公比为q的等比数列．(1)推导{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．解(1)设{an}的前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②①－②得，...
