一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．已知直线l的方向向量为l，直线m的方向向量为m，若l＝αb＋βc(α，β∈R)，m∥a，a⊥b，a⊥c且a≠0，则直线m与直线l()A．共线B．相交C．垂直D．不共面解析由m∥a且a≠0，可得：m＝ta(t∈R)，所以m·l＝m·(αb＋βc)＝αm·b＋βm·c＝αta·b＋βta·c＝0，故m与l垂直，即直线m与直线l垂直．故选C.答案C2．若不同直线l1，l2的方向向量分别为μ，v，则下列直线l1，l2中既不平行也不垂直的是()A．μ＝(1,2，－1)，v＝(0,2,4)B．μ＝(3,0，－1)，v＝(0,0,2)C．μ＝(0,2，－3)，v＝(0，－2,3)D．μ＝(1,6,0)，v＝(0,0，－4)解析选项A中μ·v＝0＋4－4＝0，∴l1⊥l2；选项C中μ＝－v，∴μ，v共线，故l1∥l2；选项D中，μ·v＝0＋0＋0＝0，∴l1⊥l2，故选B.答案B3．已知直二面角α－l－β，若A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD等于()A．2B.C.D．1解析如图所示， BD⊥l，α⊥β，α∩β＝l，∴BD⊥α，∴BD⊥AD. AB＝AC＋CD＋DB，且AC⊥l，∴AB2＝AC2＋CD2＋BD2.∴22＝12＋CD2＋12.∴CD2＝2，∴CD＝.故选C.答案C4．在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°解析如图所示，取BC中点E，连接DE，AE，AD，依题意知，三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为1，则AE＝，DE＝，tan∠ADE＝＝＝，由于∠ADE∈[0°，90°]．∴∠ADE＝60°，故选C.答案C5．(2013·全国大纲卷)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A.B.C.D.解析建立如右图所示坐标系，设AA1＝2AB＝2，则B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，D(0,0,0)．设面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则代入得令z＝1，得n＝(2，－2,1)，设CD与面BDC1所成的角为θ，sinθ＝＝，选A.答案A6．过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°解析解法一：建立如图(1)所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB与平面PCD的法向量n1＝(0,1,0)，n2＝(0,1,1)，故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为＝，故所求的二面角的大小是45°.解法二：将其补成正方体．如图(2)，不难发现平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABQP和平面CDPQ所成的二面角，其大小为45°是明显的．答案B二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CC1中点为E，则直线AE与BC1所成的角的大小为________．解析以点D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，设棱长为2，∴D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(0,2,1)，∴AE＝(－2,2,1)，BC1＝(－2,0,2)，cos〈AE，BC1〉＝＝＝，所以直线AE与BC1所成角大小为.答案8．已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值为________．解析如图，建立空间直角坐标系．设DA＝1，由已知条件得A(1,0,0)，E，F，AE＝，AF＝，设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，平面AEF与平面ABC所成的二面角为θ，由得令y＝1，得z＝－3，x＝－1，则n＝(－1,1，－3)，平面ABC的法向量为m＝(0,0，－1)，cosθ＝cos〈n，m〉＝，tanθ＝.答案9．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，①(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝3A1B12；②A1C·(A1B1－A1A)＝0；③向量AD1与向量A1B的夹角是60°；④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|AB·AA1·AD|.其中正确命题的序号是________．解析设正方体的棱长为1，①中(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝3(A1B1)2＝3，故①正确；②中A1B1－A1A＝AB1，由于AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成的角为60°，但AD1与A1B的夹角为120°，故③不正确；④中|AB·AA1·AD|＝0，故④也不正确．答案①②三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说...
