3道附加题限时组合练——训练答题用时，掌控答题节奏3道附加题限时组合练(一)(满分：30分，限时：30分钟)21．[选做题](本题包括A，B，C三小题，请选定其中两小题作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)A．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A＝，α＝，求A－1α的值．解：设A－1＝，则AA－1＝＝，所以解得所以A－1＝，所以A－1α＝＝.B．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线(θ为参数)被射线θ＝θ0所截得的弦长为2，求θ0的值．解：曲线的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－)2＝4.射线θ＝θ0的直角坐标方程可以设为y＝kx(x≥0，k＞0)，则圆心到直线的距离d＝根据题意得，2＝2，解得k＝，即tanθ0＝，θ0∈，故θ0＝.C．[选修4－5：不等式选讲]已知x，y，z为不全相等的正数．求证：＋＋>＋＋.证明：因为x，y，z都是正数，所以＋＝≥.同理可得＋≥，＋≥，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得＋＋≥＋＋.由于x，y，z不全相等，因此上述三个不等式中等号至少有一个取不到，所以＋＋>＋＋.[必做题](第22题、第23题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)22．在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＝－1，点T(3,0)．动点P满足PS⊥l，垂足为S，且OP·ST＝0.设动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点(1,0)，线段PQ的中点为M，直线l与x轴的交点为N.求证：向量SM与NQ共线．解：(1)设P(x，y)为曲线C上任意一点.因为PS⊥l，垂足为S，又直线l：x＝－1，所以S(－1，y)．因为T(3,0)，所以OP＝(x，y)，ST＝(4，－y)．因为OP·ST＝0，所以4x－y2＝0，即y2＝4x.所以曲线C的方程为y2＝4x.(2)证明：因为直线PQ过点(1,0)，故设直线PQ的方程为x＝my＋1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．联立方程消去x，得y2－4my－4＝0.所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.因为M为线段PQ的中点，所以M的坐标为，即M(2m2＋1,2m)．又因为S(－1，y1)，N(－1,0)，所以SM＝(2m2＋2,2m－y1)，NQ＝(x2＋1，y2)＝(my2＋2，y2).因为(2m2＋2)y2－(2m－y1)(my2＋2)＝(2m2＋2)y2－2m2y2＋my1y2－4m＋2y1＝2(y1＋y2)＋my1y2－4m＝8m－4m－4m＝0.所以向量SM与NQ共线．23．对于给定的大于1的正整数n，设x＝a0＋a1n＋a2n2＋…＋annn，其中ai∈{0,1,2，…，n－1}，i＝0,1，2，…，n－1，n，且an≠0，记满足条件的所有x的和为An.(1)求A2；(2)设An＝，求f(n)．解：(1)当n＝2时，x＝a0＋2a1＋4a2，a0∈{0,1}，a1∈{0,1}，a2＝1，故满足条件的x共有4个，分别为x＝0＋0＋4，x＝0＋2＋4，x＝1＋0＋4，x＝1＋2＋4，它们的和是22，所以A2＝22.(2)由题意得，a0，a1，a2，…，an－1各有n种取法；an有n－1种取法，由分步计数原理可得a0，a1，a2…，an－1，an的不同取法共有n·n·…·n·(n－1)＝nn(n－1)，即满足条件的x共有nn(n－1)个，当a0分别取0,1,2，…，n－1时，a1，a2，…，an－1各有n种取法，an有n－1种取法，故An中所有含a0项的和为(0＋1＋2＋…＋n－1)·nn－1(n－1)＝；同理，An中所有含a1项的和为(0＋1＋2＋…＋n－1)·nn－1(n－1)·n＝·n；An中所有含a2项的和为(0＋1＋2＋…＋n－1)·nn－1(n－1)·n2＝·n2；An中所有含an－1项的和为(0＋1＋2＋…＋n－1)·nn－1(n－1)·nn－1＝·nn－1；当an分别取i＝1,2，…，n－1时，a0，a1，a2，…，an－1各有n种取法，故An中所有含an项的和为(1＋2＋…＋n－1)nn·nn＝·nn.所以An＝(1＋n＋n2＋…＋nn－1)＋·nn＝·＋·nn＝(nn＋1＋nn－1)，故f(n)＝nn＋1＋nn－1.3道附加题限时组合练(二)(对应学生用书P34)(满分：30分，限时：30分钟)21．[选做题](本题包括A，B，C三小题，请选定其中两小题作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)A．[选修4－2：矩阵与变换]已知变换T将平面上的点，(0,1)分别变换为点，.设变换T对应的矩阵为M.(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的特征值．解：(1)设M＝，则＝，＝，即解得则M＝.(2)设矩阵M的特征多项式为f(λ)，可得f(λ)＝＝(λ－3)(λ－4)－6＝λ2－7λ＋6，令f(λ)＝0，可得λ＝1或...
