（新课标）备战高考数学 “2＋1＋2”压轴题目自选练（二）理-人教版高三数学试题VIP专享VIP免费

“2＋1＋2”压轴题目自选练二供学有余力的考生自选一、选择、填空压轴题11．已知数列{an}满足2an＋1＋an＝3(n≥1)，且a3＝，其前n项和为Sn，则满足不等式|Sn－n－6|＜的最小整数n是()A．8B．9C．10D．11解析：选C由2an＋1＋an＝3，得2(an＋1－1)＋(an－1)＝0，即＝－，又a3＝，所以a3－1＝，代入上式，有a2－1＝－，a1－1＝9，所以数列{an－1}是首项为9，公比为－的等比数列．所以|Sn－n－6|＝|(a1－1)＋(a2－1)＋…＋(an－1)－6|＝＝＜，又n∈N*，所以n的最小值为10.故选C.12．已知三棱锥PABC的所有顶点都在球O的球面上，PC是球O的直径．若平面PCA⊥平面PCB，PA＝AC，PB＝BC，三棱锥PABC的体积为a，则球O的体积为()A．2πaB．4πaC.πaD.πa解析：选B设球O的半径为R，因为PC为球O的直径，PA＝AC，PB＝BC，所以△PAC，△PBC均为等腰直角三角形，点O为PC的中点，连接AO，OB，所以AO⊥PC，BO⊥PC，因为平面PCA⊥平面PCB，平面PCA∩平面PCB＝PC，所以AO⊥平面PCB，所以V三棱锥PABC＝·S△PBC·AO＝××AO＝××R＝R3＝a，所以球O的体积V＝πR3＝4πa.故选B.16．已知抛物线y2＝2px(p＞0)与双曲线－y2＝1在第四象限的交点为G(x0，y0)，点G到抛物线的准线的距离d＝p，则当p取得最小值时，抛物线的焦点F到双曲线的渐近线的距离为________．解析：联立可得－2px＝1，即x2－2a2px－a2＝0，解得x＝a2p＋a或x＝a2p－a＜0(舍去)，故x0＝a2p＋a，抛物线的准线方程为x＝－，则点G到抛物线的准线的距离d＝a2p＋a＋＝p，即ap＋＝p，可得－2ap2＋p2＝1，故p2＝，又≤a＜，所以当a＝时，p2＝＝＝4，即p取得最小值2，此时抛物线的焦点为F(1,0)，双曲线的渐近线方程为y＝±x，即8x±3y＝0，所以抛物线的焦点F到双曲线的渐近线的距离为＝.答案：二、解答题压轴题20．已知椭圆Γ：＋＝1(a＞b＞0)经过点M(－2,1)，且右焦点F(，0)．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)过N(1,0)且斜率存在的直线AB交椭圆Γ于A，B两点，记t＝MA·MB，若t的最大值和最小值分别为t1，t2，求t1＋t2的值．解：(1)由椭圆＋＝1的右焦点为(，0)，知a2－b2＝3，即b2＝a2－3，则＋＝1，a2＞3.又椭圆过点M(－2,1)，∴＋＝1，又a2＞3，∴a2＝6.∴椭圆Γ的标准方程为＋＝1.(2)设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得x2＋2k2(x－1)2＝6，即(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－6＝0，∵点N(1,0)在椭圆内部，∴Δ＞0，∴则t＝MA·MB＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋(kx1－k－1)(kx2－k－1)＝(1＋k2)x1x2＋(2－k2－k)(x1＋x2)＋k2＋2k＋5.③将①②代入③得，t＝(1＋k2)·＋(2－k2－k)·＋k2＋2k＋5，∴t＝，∴(15－2t)k2＋2k－1－t＝0，k∈R，则Δ＝22＋4(15－2t)(1＋t)≥0，∴(2t－15)(t＋1)－1≤0，即2t2－13t－16≤0，由题意知t1，t2是2t2－13t－16＝0的两根，∴t1＋t2＝.21．已知函数f(x)＝x2－(2a－1)x－alnx(a∈R)．(1)试讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)存在最小值f(x)min，求证：f(x)min<.解：(1)f′(x)＝，x∈(0，＋∞)．当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，由f′(x)>0，解得x>a，由f′(x)<0，解得00时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．(2)证明：由(1)知要使f(x)存在最小值，则a>0且f(x)min＝f(a)＝a－a2－alna.令g(x)＝x－x2－xlnx(x>0)，则g′(x)＝－2x－lnx在(0，＋∞)上单调递减．又g′＝1－>0，g′＝0，故存在x0∈，使得g′(x0)＝0.故g(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减．∵g′(x0)＝0，∴－2x0－lnx0＝0，故lnx0＝－2x0.∴g(x)max＝g(x0)＝x0＋x＝2－.又∵x0∈，∴g(x)max＝2－<2－＝，故f(x)min<.