“2＋1＋2”压轴题目自选练三供学有余力的考生自选一、选择、填空压轴题11．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，AF＝3FB，抛物线的准线l与x轴交于点C，AM⊥l于点M，则四边形AMCF的面积为()A．12B．12C．8D．6解析：作出示意图如图所示，设直线AB的方程为x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立可得y2－4my－8＝0，则y1·y2＝－8.∵AF＝3FB，y2＝－y1，∴y＝24，即y1＝2，∴x1＝3，∴|AM|＝x1＋＝4，故S四边形AMCF＝(|AM|＋|FC|)×y1＝×(4＋2)×2＝12.12．若对于任意的正实数x，y都有ln≤成立，则实数m的取值范围为()A.B.C.D.解析：选D由ln≤，可得ln≤.设＝t，令f(t)＝(2e－t)·lnt，t>0，则f′(t)＝－lnt＋－1，令g(t)＝－lnt＋－1，t>0，则g′(t)＝－－<0，∴g(t)在(0，＋∞)上单调递减，即f′(t)在(0，＋∞)上单调递减．∵f′(e)＝0，∴f(t)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴f(t)max＝f(e)＝e，∴e≤，∴实数m的取值范围为.16．设△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c成等比数列，cos(A－C)－cosB＝，延长BC至点D，若BD＝2，则△ACD面积的最大值为________.解析：法一：由题意知b2＝ac，由正弦定理得sin2B＝sinAsinC，①又由已知，得cos(A－C)＋cos(A＋C)＝，可得cosAcosC＝，②②－①，得－sin2B＝－cosB，所以cos2B＋cosB－＝0，解得cosB＝或cosB＝－(舍去)，所以B＝60°，再由题得cos(A－C)＝1，所以A－C＝0，即A＝C，则a＝c，所以△ABC为正三角形，则∠ACD＝120°，AC＝b，CD＝2－b，故S△ACD＝×b×(2－b)×≤2＝，当且仅当b＝2－b，即b＝1时取等号．法二：由题意知b2＝ac，且cos(A－C)＋cos(A＋C)＝，即cosAcosC＋sinAsinC＋cosAcosC－sinAsinC＝，即cosAcosC＝，由余弦定理得·＝，整理得b4－(a2－c2)2＝b4，所以a2－c2＝0，即a＝c，又b2＝ac，所以a＝b＝c，即△ABC为正三角形，所以S△ACD＝S△ABD－S△ABC＝×2×c×－c2＝－(c－1)2＋≤，当c＝1时取等号．答案：二、解答题压轴题20．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，其焦点为F，O为坐标原点，直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，M为AB的中点．(1)若p＝2，M的坐标为(1,1)，求直线l的方程．(2)若直线l过焦点F，AB的垂直平分线交x轴于点N，试问：是否为定值？若为定值，试求出此定值；否则，说明理由．解：(1)由题意知直线l的斜率存在且不为0，故设直线l的方程为x－1＝t(y－1)，即x＝ty＋1－t，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得y2－4ty－4＋4t＝0，∴Δ＝16t2＋16－16t＝16(t2－t＋1)>0，y1＋y2＝4t，∴4t＝2，即t＝.∴直线l的方程为2x－y－1＝0.(2)为定值2p，理由如下．∵抛物线C：y2＝2px(p>0)，∴焦点F的坐标为.由题意知直线l的斜率存在且不为0，∵直线l过焦点F，故设直线l的方程为x＝ty＋(t≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得y2－2pty－p2＝0，∴Δ＝4p2t2＋4p2>0，y1＋y2＝2pt.∴x1＋x2＝t(y1＋y2)＋p＝2pt2＋p，∴M.∴MN的方程为y－pt＝－t.令y＝0，解得x＝pt2＋，N，∴|MN|2＝p2＋p2t2，|FN|＝pt2＋－＝pt2＋p，∴＝＝2p.21．已知函数f(x)＝(x－1)2＋a(lnx－x＋1)(a<2)．(1)讨论f(x)的极值点的个数；(2)若方程f(x)＋a＋1＝0在(0,2]上有且只有一个实根，求a的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(x－1)＋a＝.由f′(x)＝0得x＝1或x＝.①当a≤0时，由f′(x)>0，得x>1；由f′(x)<0，得0
0，得x>1或00，要使g(x)在(0,2]上有且只有一个零点，需满足g(1)＝0或g(2)<0，解得a＝－1或a<－.②当00，∴当x∈时，总有g(x)>0.∵e－<1
