电子科技大学2010年秋季软件工程硕士研究生入学考试试题考试科目：201高等数学(题及解)注：请考生务必将所有答案写在答题纸上。一.填空题（每小题3分，共15分）1．已知连续可微函数满足，且与路径无关，则=().4．设Ⅰ=，其中，则Ⅰ=（）二.单项选择题（每小题3分，共15分）1极限……………………………………………（C）.（A）1；（B）；（C）；（D）不存在.2.若在点(0,0)的两个偏导数存在，则在点(0,0)是（D）（A）连续且可微；（B）连续但不一定可微；（C）可微但不一定连续；（D）不一定可微也不一定连续.3.二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式為(D).（A）;（B）；（C）；（D）4.圆锥体的形心的坐为……………（A）.；；；.共6页第1页三.计算（每小题4分，满分8分）1.设函数由方程确定，其中具有连续的偏导数，求[解]令，則2.求曲线在点处的切线方程与法平面方程.[解]在点处的切线的方向向量为切线方程为或或或法平面方程为求微分方程(ex+3y2)dx+2xydy=0的通.解dydx=−ex+3y22xy共6页第2页七．（7分）求方程x2+y2+z2−2x−2y−4z−10=0所确定的隐函数z=z(x,y)的极值：解将函数方程两端分别对x,y求偏导得：2x+2z∂z∂x−2−4∂z∂x=0,2y+2z∂z∂y−2−4∂z∂y=0在上两式中令∂z∂x=∂z∂y=0，解得：x=1,y=1.共6页第3页把x=1,y=1代入原函数方程得z1=6,z2=−2易知，z1=6,z2=−2分别为隐函数z=z(x,y)的极大值和极小值。将函数f(x)=2+|x|在[−1,1]上展开成傅里叶级数。解对f(x)作周期延拓，则bn=0，a0=2∫01(2+x)dx=5an=2∫01(2+x)cosnπxdx=2n2π2[(−1)n−1]=¿{0,n=2k¿¿¿¿计算曲线积分∮Lydx−xdy2(x2+y2)，其中L为圆周(x−1)2+y2=2的正向。解P与Q在D：(x−1)2+y2≤2上的是O（0，0）无意义，因此P与Q在D内无一阶连续偏导数。作全含于D内的小圆L1:x2+y2=ε2(ε>0)，L1取逆时针方向，由于∂Q∂x=∂P∂y=x2−y22(x2+y2)2在L+L1−围成的双连通域D'上恒成立，故取L1:x=εcost,y=εsint,t从0→2π，便有设函数f(x)在[0,1]区间上连续，且f(x)<1,证明：方程在(0,1)内只有一个根。解令由f(x)∈C[0,1],知F(x)∈C[0,1],又由于f(x)<1,所以，于是F(1)>0共6页第4页由连续函数介值定理：∃ξ∈(0,1),使得F(ξ)=0，即证方程在(0,1)内有一个根若方程在（0，1）内有两个不同的实数根ξ1,ξ2，设ξ1<ξ2。在[ξ1,ξ2]上，F(x)满足洛尔定理的条件，于是∃η∈(ξ1,ξ2),使得F'(η)=0.但是，F'(x)=2−f(x)>0，矛盾。共6页第5页共6页第6页
