等比数列的派生数列我们约定由等比数列的组合生成的新数列为派生数列，派生数列有非常漂亮的性质．性质1设等比数列{an}的公比为q，k∈N，k≥1，i∈N，i≥1，若b1＝ai，b2＝ai+k+1，b3=ai+2(k+1)，…，bn＝ai+(n-1)(k+1)，…，则数列{bn}仍为等比数列，其公比为qk+1．特别地，当i＝1，k＝1时，{bn}成为{an}的所有奇数项组成的数列；当i＝2，k＝1时，{bn}由{an}的所有偶数项组成，显然它们均为等比数列．且公比为q2．性质2设等比数列{an}的公比为q，k∈N．k≥1，若b1＝a1＋a2＋…＋ak，b2＝ak+1＋ak+2＋…＋a2k，…，bn＝a(n-1)k+1＋a(n-1)k+2＋…＋ank，…，则数列{bn}仍为等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，Snk－S(n-1)k，…成等比数列，其公比为qk．特别地，当k＝3时，b1＝a1＋a2＋a3，bi＝a4＋a5＋a6，…，bn＝a3n-2＋a3n-1＋a3n，…，显然，{bn}是公比为q3的等比数列，此即为1999年全国高中数学联赛的一道试题．推广设等比数列{an}的公比为q，k∈N，k≥1，λ∈R．特别地，当λ＝1时，即成性质2，当λ＝2时，用途广泛．性质3设等比数列{an}的公比为q，k∈N，k≥1，若b1＝a1a2…ak，b2＝ak+1ak+2…a2k，…bn＝a(n-1)k+1a(n-1)k+2…an)k，…，则{bn}仍为等比数列，其公比为qk2．
