专题06数列一．基础题组1.【2005江苏，理3】在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝（）（A）33（B）72（C）84（D）189【答案】C.【解析】设等比数列{an}的公比为q(q>0),由题意得:a1+a2+a3=21,即3+3q+3q2=21,q2+q-6=0,求得q=2(q=-3舍去),所以a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4故选C.2.【2009江苏，理14】设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则=.3.【2009江苏，理17】设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。（1）求数列的通项公式及前项和；（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项【答案】（1）（2）．【解析】（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,(2)（方法一）=,设，w.w.w..c.o.m则=,所以为8的约数（方法二）因为为数列中的项，故为整数，又由（1）知：为奇数，所以经检验，符合题意的正整数只有.4.【2010江苏，理8】函数y＝x2(x＞0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是__________．5.【2011江苏，理13】设，其中成公比为的等比数列，成公差为1的等差数列，则的最小值为【答案】．【解析】由题意得，要求的最小值，只要求的最小值，而的最小值为1，所以，.6.【2013江苏，理14】在正项等比数列{an}中，，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋…＋an＞a1a2…an的最大正整数n的值为__________．【答案】12．【解析】设正项等比数列{an}的公比为q，则由a6＋a7＝a5(q＋q2)＝3可得q＝2，于是an＝2n－6，则a1＋a2＋…＋an＝. ，q＝2，∴a6＝1，a1a11＝a2a10＝…＝＝1.∴a1a2…a11＝1.当n取12时，a1＋a2＋…＋a12＝27－＞a1a2…a11a12＝a12＝26成立；当n取13时，a1＋a2＋…＋a13＝28－＜a1a2…a11a12a13＝a12a13＝26·27＝213.当n＞13时，随着n增大a1＋a2＋…＋an将恒小于a1a2…an.因此所求n的最大值为12..7.【2014江苏，理7】在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值是.【2016年高考江苏卷】已知{}是等差数列，是其前项和.若，=10，则的值是▲.【答案】【解析】由得，因此【考点】等差数列的性质【名师点睛】本题考查等差数列的基本量，对于特殊数列，一般采取待定系数法，即列出关于首项及公差（比）的两个独立条件即可.为使问题易于解决，往往要利用等差数列相关性质，如及二．能力题组1.【2008江苏，理19】（1）设是各项均不为零的（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．（i）当时，求的数值；（ii）求的所有可能值．（2）求证：对于给定的正整数()，存在一个各项及公差均不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾。(或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)综上所述，。（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即，化简得（*）由知，与同时为0或同时不为0当与同时为0时，有与题设矛盾。故与同时不为0，所以由（*）得因为，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数。于是，对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。例如n项数列1，，，……，满足要求.2.【2010江苏，理19】设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2＝a1＋a3，数列{}是公差为d的等差数列．(1)求数列{an}的通项公式(用n，d表示)；(2)设c为实数，对满足m＋n＝3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm＋Sn＞cSk都成立．求证：c的最大值为.Sm＋Sn＜d2·2ak2＝aSk.所以满足条件的c≤，从而cmax≤.因此c的最大值为.3.【2013江苏，理19】设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前n项和．记，n∈N*，其中c为实数．(1)若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)；(2)若{bn}是等差数列，证明：c＝0.由②，③得A＝0，cd1＝－5B，代入方程①，得B＝0，从而cd1＝0.即＝0，b1－d1－a＋＝0，cd1＝0.若d1＝0，则由＝0，得d＝0，与题设矛盾，所以d1≠0.又因为cd1＝0，...
