第4练再谈“三个二次”的转化策略题型一函数与方程的转化例1设定义域为R的函数f(x)＝则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为________．破题切入点将函数的零点问题转化为对应方程根的问题．答案7解析由y＝2f2(x)－3f(x)＋1＝0得f(x)＝或f(x)＝1，如图画出f(x)的图象，由f(x)＝知有4个根，由f(x)＝1知有3个根，故函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1共有7个零点．题型二函数与不等式的转化例2已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>}，则f(10x)>0的解集为________．破题切入点由题意，可得f(10x)>0等价于－1<10x<，由指数函数的单调性即可求解．答案{x|x<－lg2}解析由题意可知f(x)>0的解集为{x|－1
0等价于－1<10x<，由指数函数的值域为(0，＋∞)，知一定有10x>－1，而10x<可化为10x<10，即10x<10－lg2.由指数函数的单调性可知x<－lg2.题型三方程与不等式的转化例3已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的取值范围．破题切入点将二次函数的特殊点按照题目要求固定到区间内，转化为不等式(组)进行求解．解(1)由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如右图所示，得⇒即－0}，且A∩B＝∅，则实数p的取值范围是________．答案(－4，＋∞)解析当A＝∅时，Δ＝(p＋2)2－4<0，∴－4－4.2．已知函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上的最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为________．答案[1,2]解析 f(x)＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，当x＝1时，f(x)min＝2，故m≥1，又 f(0)＝3，f(2)＝3，∴m≤2.综上可知1≤m≤2.3．方程x2－x－m＝0在x∈[－1,1]上有实根，则m的取值范围是________．答案[－，]解析m＝x2－x＝2－，x∈[－1,1]．当x＝－1时，m取最大值为，当x＝时，m取最小值为－，∴－≤m≤.4．已知函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)－af(x)＝0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是________．答案(0,1)解析设t＝f(x)，则方程为t2－at＝0，解得t＝0或t＝a，即f(x)＝0或f(x)＝a.如图，作出函数f(x)的图象，由函数图象，可知f(x)＝0的解有两个，故要使方程f2(x)－af(x)＝0恰有5个不同的解，则方程f(x)＝a的解必有三个，此时00，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.因此有f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2.若f(x1)＝x1
