第34练双曲线的渐近线和离心率题型一双曲线的渐近线问题例1(2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为________．破题切入点根据双曲线的离心率求出a和b的比例关系，进而求出渐近线．答案y＝±x解析由e＝＝知，a＝2k，c＝k，k∈(0，＋∞)，由b2＝c2－a2＝k2，知b＝k.所以＝.即渐近线方程为y＝±x.题型二双曲线的离心率问题例2已知O为坐标原点，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，以OF为直径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点A，B，若(AO＋AF)·OF＝0，则双曲线的离心率e为________．破题切入点数形结合，画出合适图形，找出a，b间的关系．答案解析如图，设OF的中点为T，由(AO＋AF)·OF＝0可知AT⊥OF，又A在以OF为直径的圆上，∴A，又A在直线y＝x上，∴a＝b，∴e＝.题型三双曲线的渐近线与离心率综合问题例3已知A(1,2)，B(－1,2)，动点P满足AP⊥BP.若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．破题切入点先由直接法确定点P的轨迹(为一个圆)，再由渐近线与该轨迹无公共点得到不等关系，进一步列出关于离心率e的不等式进行求解．答案(1,2)解析设P(x，y)，由题设条件，得动点P的轨迹为(x－1)(x＋1)＋(y－2)·(y－2)＝0，即x2＋(y－2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆．又双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，由题意，可得>1，即>1，所以e＝<2，又e>1，故11的条件，常用到数形结合．(2)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法．由y＝±x⇔±＝0⇔－＝0，所以可以把标准方程－＝1(a>0，b>0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程．双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个数据，由于＝＝，当e逐渐增大时，的值就逐渐增大，双曲线的“张口”就逐渐增大．1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)以及双曲线－＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线－＝1的离心率为________．答案2或解析由题意，可知双曲线－＝1的渐近线的倾斜角为30°或60°，则＝或.则e＝＝＝＝＝或2.2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若F2H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为________．答案解析取双曲线的渐近线y＝x，则过F2与渐近线垂直的直线方程为y＝－(x－c)，可解得点H的坐标为，则F2H的中点M的坐标为，代入双曲线方程－＝1可得－＝1，整理得c2＝2a2，即可得e＝＝.3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为________．答案－＝1解析 双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心为C(3,0)．又渐近线方程与圆C相切，即直线bx－ay＝0与圆C相切，∴＝2，∴5b2＝4a2.①又 －＝1的右焦点F2(，0)为圆心C(3,0)，∴a2＋b2＝9.②由①②得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为－＝1.4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若双曲线上存在点P使＝，则该双曲线的离心率的取值范围是________．答案(1，＋1)解析根据正弦定理得＝，由＝，可得＝，即＝＝e，所以PF1＝ePF2.因为e>1，所以PF1>PF2，点P在双曲线的右支上．又PF1－PF2＝ePF2－PF2＝PF2(e－1)＝2a，解得PF2＝.因为PF2>c－a(不等式两边不能取等号，否则题中的分式中的分母为0，无意义)，所以>c－a，即>e－1，即(e－1)2<2，解得e<＋1.又e>1，所以e∈(1，＋1)．5．(2014·湖北)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为________．答案解析设PF1＝r1，PF2＝r2(r1>r2)，F1F2＝2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，由(2c)2＝r＋r－2r1r2cos，得4c2＝r＋r－r1r2.由得所以＋＝＝.令m＝＝＝＝，当＝时，mmax＝，所以()max＝，即＋的最大值为.6．(2014·山东改编)已知a...
