第35练与抛物线相关的热点问题题型一抛物线的定义及其应用例1设P是抛物线y2＝4x上的一动点，(1)求点P到A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，抛物线的焦点为F，求PB＋PF的最小值．破题切入点画出图形，结合抛物线的定义，转化为共线问题．解(1)由于A(－1,1)，F(1,0)，P是抛物线上的任意一点，则AP＋PF≥AF＝＝，从而知点P到A(－1，1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和的最小值为，所以点P到A(－1,1)的距离与P到直线x＝－1的距离之和的最小值也为.(2)如图所示，自点B作BQ垂直于抛物线的准线于点Q，交抛物线于点P1，此时P1Q＝P1F，那么PB＋PF≥P1B＋P1Q＝BQ＝4，即PB＋PF的最小值为4.题型二抛物线的标准方程及性质例2(1)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是________．(2)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m后，水面宽________m.破题切入点准确求出抛物线方程并结合其简单几何性质作答．答案(1)(2，＋∞)(2)2解析(1) x2＝8y，∴焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2.由抛物线的定义知FM＝y0＋2.以F为圆心、FM为半径的圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝(y0＋2)2.由于以F为圆心、FM为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4，故42.(2)建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py得p＝1.∴x2＝－2y.水位下降1m，得D(x0，－3)(x0>0)，将其坐标代入x2＝－2y，得x＝6，∴x0＝.∴水面宽CD＝2m.题型三直线和抛物线的位置关系例3已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．破题切入点(1)将点代入易求方程．(2)假设存在，根据条件求出，注意验证．解(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，所以p＝2.故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t.由得y2＋2y－2t＝0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.由直线OA到l的距离d＝，可得＝，解得t＝±1.又因为－1∉[－，＋∞)，1∈[－，＋∞)，所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.总结提高(1)抛物线没有中心，只有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴且离心率为e＝1，所以与椭圆、双曲线相比，它有许多特殊性质，可以借助几何知识来解决．(2)抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应关系，将抛物线y2＝2px关于y轴、直线x＋y＝0与x－y＝0对称变换可以得到抛物线的其他三种形式；或者将抛物线y2＝2px绕原点旋转±90°或180°也可以得到抛物线的其他三种形式，这是它们的内在联系．(3)抛物线的焦点弦：设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①y1y2＝－p2，x1x2＝；②若直线AB的倾斜角为θ，则AB＝；③若F为抛物线焦点，则有＋＝.1．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为________．答案4或－4解析设标准方程为x2＝－2py(p>0)，由定义知P到准线的距离为4，故＋2＝4，所以p＝4，则方程为x2＝－8y，代入P点坐标得m＝±4.2．若抛物线y2＝8x的焦点是F，准线是l，则经过点F，M(3,3)且与l相切的圆共有________个．答案1解析由题意得F(2,0)，l：x＝－2，线段MF的垂直平分线方程为y－＝－(x－)，即x＋3y－7＝0，设圆的圆心坐标为(a，b)，则圆心在x＋3y－7＝0上，故a＋3b－7＝0，a＝7－3b，由题意得|a－(－2)|＝，即b2＝8a＝8(7－3b)，即b2＋24b－56＝0.又b>0，故此方程只有一个根，于是满足题意的圆只有一个．3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是________．答案2±解析依题意得F(，0)，设P(，y1)，Q(，y2)(y1≠y2)．由抛物线定义及PF＝QF，得＋＝＋，∴y＝y，∴y1＝－y2....
