第36练直线与圆锥曲线问题题型一直线和椭圆的位置关系例1如图所示，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，x轴被曲线C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.(1)求C1，C2的方程；(2)求证：MA⊥MB；(3)记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若＝λ，求λ的取值范围．破题切入点(1)利用待定系数法求解曲线C1，C2的方程．(2)设出直线AB和曲线C2联立，利用坐标形式的向量证明．(3)将S1和S2分别表示出来，利用基本不等式求最值．(1)解由题意，知＝，所以a2＝2b2.又2＝2b，得b＝1.所以曲线C2的方程：y＝x2－1，椭圆C1的方程：＋y2＝1.(2)证明设直线AB：y＝kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知M(0，－1)．则⇒x2－kx－1＝0，MA·MB＝(x1，y1＋1)·(x2，y2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝－(1＋k2)＋k2＋1＝0，所以MA⊥MB.(3)解设直线MA的方程：y＝k1x－1，直线MB的方程：y＝k2x－1，由(2)知k1k2＝－1，M(0，－1)，由解得或所以A(k1，k－1)．同理，可得B(k2，k－1)．故S1＝MA·MB＝·|k1||k2|.由解得或所以D(，)．同理，可得E(，)．故S2＝MD·ME＝·，＝λ＝＝≥，则λ的取值范围是[，＋∞)．题型二直线和双曲线的位置关系例2已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．破题切入点(1)联立方程组，利用Δ>0求出k的取值范围．(2)联立方程用根与系数的关系求解．解(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点，则方程组有两个不同的实数根，整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.∴解得－|x2|时，S△OAB＝S△OAD－S△OBD＝(|x1|－|x2|)＝|x1－x2|；当A，B在双曲线的两支上且x1>x2时，S△OAB＝S△ODA＋S△OBD＝(|x1|＋|x2|)＝|x1－x2|.∴S△OAB＝|x1－x2|＝，∴(x1－x2)2＝(2)2，即()2＋＝8，解得k＝0或k＝±.又 －0，b>0)的上焦点为F，上顶点为A，B为虚轴的端点，离心率e＝，且S△ABF＝1－.抛物线N的顶点在坐标原点，焦点为F.(1)求双曲线M和抛物线N的方程；(2)设动直线l与抛物线N相切于点P，与抛物线的准线相交于点Q，则以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点？如果是，试求出该点的坐标，如果不是，请说明理由．破题切入点(1)根据双曲线的性质，用a，c表示已知条件，建立方程组即可求解双曲线的方程，然后根据抛物线的焦点求出抛物线的方程．(2)设出点P的坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，并求出点Q的坐标，然后根据圆的性质列出关于点P的坐标的方程，将问题转化为方程恒成立的问题来解决．解(1)在双曲线中，c＝，由e＝，得＝，解得a＝b，故c＝2b.所以S△ABF＝(c－a)×b＝(2b－b)×b＝1－，解得b＝1.所以a＝，c＝2，其上焦点为F(0,2)．所以双曲线M的方程为－x2＝1，抛物线N的方程为x2＝8y.(2)由(1)知抛物线N的方程为y＝x2，故y′＝x，抛物线的准线为y＝－2.设P(x0，y0)，则x0≠0，y0＝x，且直线l的方程为y－x＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x.由得所以Q(，－2)．假设存在点R(0，y1)，使得以PQ为直径的圆恒过该点，也就是RP·RQ＝0对于满足y0＝x(x0≠0)的x0，y0恒成立．由于RP＝(x0，y0－y1)，RQ＝(，－2－y1)，由RP·RQ＝0，得x0·＋(y0－y1)(－2－y1)＝0，整理得－2y0－y0y1＋2y1＋y＝0，即(y＋2y1－8)＋(2－y1)y0＝0，(*)由于(*)式对满足y0＝x(x0≠0)的x0，y0恒成立，所以解得y1＝2.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点，定点坐标为(0,2)．总结提高直线和圆锥曲线的位置关系问题，万变不离其宗，构建属于自己的解题模板，形成一定的解题思路，利用数形结合思想来加以解决．1．已知圆C：(x＋1)2＋y2＝8，定点A(1,0)，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上...
