专题过关检测（十四）数列1．(2019·北京高考)设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．解：(1)设{an}的公差为d.因为a1＝－10，所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d.因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)，所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d)，解得d＝2.所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－12.(2)由(1)知，an＝2n－12.则当n≥7时，an>0；当n≤6时，an≤0.所以Sn的最小值为S5＝S6＝－30.2．(2019·洛阳统考)已知等差数列{an}的公差d≠0，若a3＋a9＝22，且a5，a8，a13成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)设数列{an}的首项为a1，依题意，解得a1＝1，d＝2，∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)∵bn＝＝＝＝1＋＝1＋，∴Sn＝1＋×＋1＋×＋…＋1＋＝n＋＝.3．(2019·长沙统考)已知数列{an}的首项a1＝3，a3＝7，且对任意的n∈N*，都有an－2an＋1＋an＋2＝0，数列{bn}满足bn＝a，n∈N*.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)求使b1＋b2＋…＋bn>2018成立的最小正整数n的值．解：(1)令n＝1得，a1－2a2＋a3＝0，解得a2＝5.又由an－2an＋1＋an＋2＝0知，an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1＝2，故数列{an}是首项a1＝3，公差d＝2的等差数列，于是an＝2n＋1，bn＝a＝2n＋1.(2)由(1)知，bn＝2n＋1.于是b1＋b2＋…＋bn＝(21＋22＋…＋2n)＋n＝＋n＝2n＋1＋n－2.令f(n)＝2n＋1＋n－2，易知f(n)是关于n的单调递增函数，又f(9)＝210＋9－2＝1031，f(10)＝211＋10－2＝2056，故使b1＋b2＋…＋bn>2018成立的最小正整数n的值是10.4．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列是首项为1，公差为2的等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足＋＋…＋＝5－(4n＋5)·n，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)因为数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以＝1＋2(n－1)＝2n－1.所以Sn＝2n2－n.当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－n)－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3，当n＝1时，a1＝1也符合上式．所以数列{an}的通项公式an＝4n－3(n∈N*)．(2)当n＝1时，＝，所以b1＝2a1＝2；当n≥2时，由＋＋…＋＝5－(4n＋5)n，所以＋＋…＋＝5－(4n＋1)n－1.两式相减，得＝(4n－3)n.因为an＝4n－3，所以bn＝＝2n(当n＝1时，也符合此式)．又＝＝2，则数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列．所以Tn＝＝2n＋1－2.5．(2019·天津高考)设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0.已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2＋3.(1)求{an}和{bn}的通项公式．(2)设数列{cn}满足cn＝求a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n(n∈N*)．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.依题意，得解得故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3×3n－1＝3n.所以{an}的通项公式为an＝3n，{bn}的通项公式为bn＝3n.(2)a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2b1＋a4b2＋a6b3＋…＋a2nbn)＝＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n×3n)＝3n2＋6(1×31＋2×32＋…＋n×3n)．记Tn＝1×31＋2×32＋…＋n×3n，①则3Tn＝1×32＋2×33＋…＋n×3n＋1，②②－①得，2Tn＝－3－32－33－…－3n＋n×3n＋1＝－＋n×3n＋1＝.所以a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝3n2＋6Tn＝3n2＋3×＝(n∈N*)．6．(2019·江苏高考节选)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”．(1)已知等比数列{an}(n∈N*)满足：a2a4＝a5，a3－4a2＋4a1＝0，求证：数列{an}为“M数列”；(2)已知数列{bn}(n∈N*)满足：b1＝1，＝－，其中Sn为数列{bn}的前n项和．求数列{bn}的通项公式．解：(1)证明：设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.由得解得因此数列{an}为“M数列”．(2)因为＝－，所以bn≠0.由b1＝1，S1＝b1，得＝－，则b2＝2.由＝－，得Sn＝.当n≥2时，由bn＝Sn－Sn－1，得bn＝－，整理得bn＋1＋bn－1＝2bn.所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．因此，数列{bn}的通项公式为bn＝n(n∈N*)．
