8.8抛物线1.(2019·江淮十校联考)抛物线y=8x2的焦点坐标是()A.B.C.(0,2)D.(0,4)答案A解析 抛物线的标准方程为x2=y,∴焦点坐标为.2.(2019·包头青山区模拟)已知点P(2,y)在抛物线y2=4x上,则点P到抛物线焦点F的距离为()A.2B.3C.D.答案B解析因为抛物线y2=4x的焦点为(1,0),准线为x=-1,结合定义点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离,为3.3.设F为抛物线y2=2x的焦点,A,B,C为抛物线上三点,若F为△ABC的重心,则|FA|+|FB|+|FC|的值为()A.1B.2C.3D.4答案C解析依题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又焦点F,所以x1+x2+x3=3×=,则|FA|+|FB|+|FC|=++=(x1+x2+x3)+=+=3.4.(2020·惠州调研)已知F是抛物线C:y=2x2的焦点,N是x轴上一点,线段FN与抛物线C相交于点M,若2FM=MN,则|FN|等于()A.B.C.D.1答案A解析由题意得点F的坐标为,设点M的坐标为(x0,y0),点N的坐标为(a,0),所以FM=,MN=(a-x0,-y0),由2FM=MN可得,解得y0=,x0=a,代入抛物线方程可得x0=±,则a=±,所以点N的坐标为,由两点之间的距离公式可得|FN|=.5.抛物线x2=4y的焦点为F,过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A,过点A作抛物线准线的垂线,垂足为H,则△AHF的面积是()A.4B.3C.4D.8答案C解析由抛物线的定义可得AF=AH, AF的斜率为,∴AF的倾斜角为30°, AH垂直于准线,∴∠FAH=60°,故△AHF为等边三角形.设A,m>0,过F作FM⊥AH于M,则在Rt△FAM中,AM=AF,∴-1=,解得m=2,故等边三角形AHF的边长AH=4,∴△AHF的面积是×4×4sin60°=4.故选C.6.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p等于()A.2B.4C.6D.8答案D解析 △OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径. 圆的面积为36π,∴圆的半径为6.又 圆心在OF的垂直平分线上,OF=,∴+=6,∴p=8.故选D.7.(多选)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,斜率为且经过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若AF=4,则以下结论正确的是()A.p=2B.F为AD中点C.BD=2BFD.BF=2答案ABC解析如图.F,直线l的斜率为,则直线方程为y=,联立得12x2-20px+3p2=0.解得xA=p,xB=p,由AF=p+=2p=4,得p=2.∴抛物线方程为y2=4x.xB=p=,则BF=+1=;BD===,∴BD=2BF,BD+BF=+=4,则F为AD中点.故选ABC.8.(多选)抛物线E:x2=4y与圆M:x2+(y-1)2=16交于A,B两点,圆心M(0,1),点P为劣弧上不同于A,B的一个动点,平行于y轴的直线PN交抛物线于点N,则△PMN的周长的可能取值是()A.8B.8.5C.9D.10答案BC解析如图,可得圆心M(0,1)也是抛物线的焦点,过P作准线的垂线,垂足为H,根据抛物线的定义,可得MN=NH,故△PMN的周长l=NH+NP+MP=PH+4,由得B(2,3).PH的取值范围为(4,6),∴△PMN的周长PH+4的取值范围为(8,10),故B,C满足条件.9.(2019·江淮十校联考)已知直线l是抛物线y2=2px(p>0)的准线,半径为3的圆过抛物线顶点O和焦点F与l相切,则抛物线的方程为________.答案y2=8x解析 半径为3的圆与抛物线的准线l相切,∴圆心到准线的距离等于3,又 圆心在OF的垂直平分线上,OF=,∴+=3,∴p=4,故抛物线的方程为y2=8x.10.(2020·山东模拟)直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p=________,+=________.答案21解析由题意知=1,从而p=2,所以抛物线方程为y2=4x.当直线AB的斜率不存在时,将x=1代入抛物线方程,解得AF=BF=2,AB从而+=1.当直线AB的斜率存在时,设AB的方程为y=k(x-1),联立整理,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则从而+=+===1.综上,+=1.11.一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成,尺寸(单位:m)如图,一辆卡车空车时能通过此隧道,现载一集装箱,箱宽3m,车与箱共高4.5m,此车能否通过隧道?说明理由.解建立如图所示的平面直角坐标系,设矩形的边与抛物线的接点为A,B...