7.5空间向量及其应用1．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x等于()A．(0,3，－6)B．(0,6，－20)C．(0,6，－6)D．(6,6，－6)答案B解析由b＝x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．2．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为()A．－2B．－C.D．2答案D解析由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.3．已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为()A.B.C.D.答案D解析 a·b＝x＋2＝3，∴x＝1，∴b＝(1,1,2)，∴cos〈a，b〉＝＝＝，又 〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为，故选D.4．(2020·北京海淀区模拟)在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案A解析a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故②不正确；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.5．已知空间向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且a，b的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A，B满足OA＝2a＋b，OB＝3a－b，则△OAB的面积为()A.B.C.D.答案B解析|OA|＝＝＝，同理|OB|＝，则cos∠AOB＝＝＝，从而有sin∠AOB＝，∴△OAB的面积S＝×××＝，故选B.6.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A.B.C．1D.答案D解析 BD＝BF＋FE＋ED，∴|BD|2＝|BF|2＋|FE|2＋|ED|2＋2BF·FE＋2FE·ED＋2BF·ED＝1＋1＋1－＝3－，故|BD|＝.7．(多选)下列各组向量中，是平行向量的是()A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)D．g＝(－2,3,5)，h＝(16，－24,40)答案ABC解析对于A，有b＝－2a，所以a与b是平行向量；对于B，有d＝－3c，所以c与d是平行向量；对于C，f是零向量，与e是平行向量；对于D，不满足g＝λh，所以g与h不是平行向量．8．(多选)有下列四个命题，其中不正确的命题有()A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则AB＋BC＋CD＋DA＝0B．若两个非零向量AB与CD满足AB＋CD＝0，则AB∥CDC．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量D．对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC(x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面答案ACD解析对于A，已知A，B，C，D是空间任意四点，则AB＋BC＋CD＋DA＝0，错误；对于B，若两个非零向量AB与CD满足AB＋CD＝0，则AB∥CD，正确；对于C，分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是共面向量，不正确；对于D，对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC(x，y，z∈R)，当且仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面，故错误．9．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，VP＝VC，VM＝VB，VN＝VD.则VA与平面PMN的位置关系是________．答案平行解析如图，设VA＝a，VB＝b，VC＝c，则VD＝a＋c－b，由题意知PM＝b－c，PN＝VD－VC＝a－b＋c.因此VA＝PM＋PN，∴VA，PM，PN共面．又VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN.10．(2019·广州调研)已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，①(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝3A1B12；②A1C·(A1B1－A1A)＝0；③向量AD1与向量A1B的夹角是60°；④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|AB·AA1·AD|.其中正确的序号是________．答案①②解析①中，(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝A1A2＋A1D12＋A1B12＝3A1B12，故①正确；②中，A1B1－A1A＝AB1，因为AB1⊥A1C，故②正确；③中，两异面直线A1B与AD1所成的角为60°，但AD1与A1B的夹角为120°，故③不正确；④中，|AB·AA1·AD|＝0，故④也不正确．11.如图，...
