4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式1．若sinα＝－，且α为第三象限角，则tanα的值等于()A.B．－C.D．－答案C解析因为sinα＝－，且α为第三象限角，所以cosα＝－，所以tanα＝.2．已知α是第四象限角，tanα＝－，则sinα等于()A.B．－C.D．－答案D解析因为tanα＝－，所以＝－，所以cosα＝－sinα，代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝，又α是第四象限角，所以sinα＝－.3．已知cos31°＝a，则sin239°·tan149°的值为()A.B.C.D．－答案B解析sin239°·tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝.4．已知tan(α－π)＝，且α∈，则sin等于()A.B．－C.D．－答案B解析由tan(α－π)＝⇒tanα＝.又因为α∈，所以α为第三象限角，sin＝cosα＝－.5．(2020·天津西青区模拟)已知sinα＋cosα＝－，则tanα＋等于()A．2B.C．－2D．－答案A解析由已知得1＋2sinαcosα＝2，∴sinαcosα＝，∴tanα＋＝＋＝＝＝2.6．(2019·沧州七校联考)已知＝5，则sin2α－sinαcosα的值是()A.B．－C．－2D．2答案A解析由＝5，得＝5，即tanα＝2.所以sin2α－sinαcosα＝＝＝.7．(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是()A．sin(－x)＝sinxB．sin＝cosxC．cos＝－sinxD．cos(x－π)＝－cosx答案CD解析sin(－x)＝－sinx，故A不成立；sin＝－cosx，故B不成立；cos＝－sinx，故C成立；cos(x－π)＝－cosx，故D成立．8．(多选)若sinα＝，且α为锐角，则下列选项中正确的有()A．tanα＝B．cosα＝C．sinα＋cosα＝D．sinα－cosα＝－答案AB解析∵sinα＝，且α为锐角，∴cosα＝＝＝，故B正确，∴tanα＝＝＝，故A正确，∴sinα＋cosα＝＋＝≠，故C错误，∴sinα－cosα＝－＝≠－，故D错误．9．sin·cos·tan的值是．答案－解析原式＝sin·cos·tan＝··＝××(－)＝－.10．(2019·沧州七校联考)已知sin(3π＋α)＝2sin，则＝；sin2α＋sin2α＝.答案－解析∵sin(3π＋α)＝2sin，∴－sinα＝－2cosα，即sinα＝2cosα.＝＝＝－.∵sinα＝2cosα，∴tanα＝2，∴sin2α＋sin2α＝＝＝＝.11．已知－<α<0，且函数f(α)＝cos－sinα·－1.(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝，求sinαcosα和sinα－cosα的值．解(1)f(α)＝sinα－sinα·－1＝sinα＋sinα·－1＝sinα＋cosα.(2)方法一由f(α)＝sinα＋cosα＝，平方可得sin2α＋2sinα·cosα＋cos2α＝，即2sinα·cosα＝－.∴sinα·cosα＝－.又－<α<0，∴sinα<0，cosα>0，∴sinα－cosα<0，∵(sinα－cosα)2＝1－2sinα·cosα＝，∴sinα－cosα＝－.方法二联立方程解得或∵－<α<0，∴∴sinαcosα＝－，sinα－cosα＝－.12．已知k∈Z，化简：.解当k＝2n(n∈Z)时，原式＝＝＝＝－1；当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝＝＝＝－1.综上，原式＝－1.13．(2019·嘉兴联考)已知α为钝角，sin＝，则sin＝，cos＝.答案－解析sin＝cos＝cos，∵α为钝角，∴<＋α<.∴cos<0.∴cos＝－＝－.cos＝sin＝sin＝.14．已知0<α<，若cosα－sinα＝－，则的值为．答案解析因为cosα－sinα＝－，①所以1－2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝.所以(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋＝.又0<α<，所以sinα＋cosα>0.所以sinα＋cosα＝.②由①②得sinα＝，cosα＝，tanα＝2，所以＝.15．已知A，B为△ABC的两个内角，若sin(2π＋A)＝－·sin(2π－B)，cosA＝－cos(π－B)，则B＝.答案解析由已知得化简得2cos2A＝1，即cosA＝±.当cosA＝时，cosB＝，又A，B是三角形内角，∴B＝；当cosA＝－时，cosB＝－，又A，B是三角形内角，∴A＝，B＝，不合题意，舍去，综上可知B＝.16．已知sinα＝1－sin，求sin2α＋sin＋1的取值范围．解因为sinα＝1－sin＝1－cosβ，所以cosβ＝1－sinα.因为－1≤cosβ≤1，所以－1≤1－sinα≤1,0≤sinα≤2，又－1≤sinα≤1，所以sinα∈[0,1]．所以sin2α＋sin＋1＝sin2α＋cosβ＋1＝sin2α－sinα＋2＝2＋.(*)又sinα∈[0,1]，所以当sinα＝时，(*)式取得最小值；当sinα＝1或sinα＝0时，(*)式取得最大值2，故所求范围为.
