5.3平面向量的数量积1．(2019·江西省临川第一中学模拟)已知向量a＝(2,1)，b＝(m，－1)，且a⊥(a－b)，则m的值为()A．1B．3C．1或3D．4答案B解析因为a＝(2,1)，b＝(m，－1)，所以a－b＝(2－m,2)，因为a⊥(a－b)，则a·(a－b)＝2(2－m)＋2＝0，解得m＝3.故选B.2．(2019·全国Ⅱ)已知AB＝(2,3)，AC＝(3，t)，|BC|＝1，则AB·BC等于()A．－3B．－2C．2D．3答案C解析因为BC＝AC－AB＝(1，t－3)，所以|BC|＝＝1，解得t＝3，所以BC＝(1,0)，所以AB·BC＝2×1＋3×0＝2，故选C.3．(2020·拉萨模拟)已知向量a，b的夹角为，且a＝(2，－1)，|b|＝2，则|a＋2b|等于()A．2B．3C.D.答案C解析由已知|a|＝＝，a·b＝|a||b|cos＝0，∴|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝()2＋4×22＝21，∴|a＋2b|＝.故选C.4．(2019·湖南省桃江县第一中学模拟)已知向量a，b满足|a|＝，|b|＝1，且|b＋a|＝2，则向量a与b的夹角的余弦值为()A.B.C.D.答案D解析由题意可知，|b＋a|2＝b2＋2a·b＋a2＝3＋2a·b＝4，解得a·b＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝，故选D.5．(2019·东莞模拟)已知非零向量m，n满足|n|＝4|m|，且m⊥(2m＋n)，则m，n的夹角为()A.B.C.D.答案D解析 |n|＝4|m|，且m⊥(2m＋n)，∴m·(2m＋n)＝2m2＋m·n＝2|m|2＋|m||n|cos〈m，n〉＝0，且|m|≠0，|n|≠0，∴2|m|＋|n|cos〈m，n〉＝0，∴cos〈m，n〉＝－＝－，又0≤〈m，n〉≤π，∴〈m，n〉＝.故选D.6．已知向量a＝(sinθ，)，b＝(1，cosθ)，|θ|≤，则|a－b|的最大值为()A．2B.C．3D．5答案B解析由已知可得|a－b|2＝(sinθ－1)2＋(－cosθ)2＝5－4sin.因为|θ|≤，所以0≤θ＋≤，所以当θ＝－时，|a－b|2的最大值为5－0＝5，故|a－b|的最大值为.7．(多选)设a，b是两个非零向量．则下列命题为假命题的是()A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|答案ABD解析对于A，若|a＋b|＝|a|－|b|，则|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|，得a·b＝－|a||b|≠0，a与b不垂直，所以A为假命题；对于B，由A解析可知，若a⊥b，则|a＋b|≠|a|－|b|，所以B为假命题；对于C，若|a＋b|＝|a|－|b|，则|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|，得a·b＝－|a||b|，则cosθ＝－1，则a与b反向，因此存在实数λ，使得b＝λa，所以C为真命题．对于D，若存在实数λ，使得b＝λa，则a·b＝λ|a|2，－|a||b|＝λ|a|2，由于λ不能等于0，因此a·b≠－|a||b|，则|a＋b|≠|a|－|b|，所以D不正确．故选ABD.8．(多选)设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是()A．(a·b)c－(c·a)b＝0B．|a|－|b|＜|a－b|C．(b·c)a－(a·c)b不与c垂直D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2答案BD解析由于b，c是不共线的向量，因此(a·b)c与(c·a)b相减的结果应为向量，故A错误；由于a，b不共线，故a，b，a－b构成三角形，因此B正确；由于[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，故C中两向量垂直，故C错误；根据向量数量积的运算可以得出D是正确的．故选BD.9．(2020·景德镇模拟)已知两个单位向量a，b的夹角为30°，c＝ma＋(1－m)b，b·c＝0，则m＝________.答案4＋2解析b·c＝b·[ma＋(1－m)b]＝ma·b＋(1－m)b2＝m|a||b|cos30°＋(1－m)|b|2＝m＋1－m＝0，所以m＝4＋2.10．(2019·镇江模拟)已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E，F分别在边AD，DC上，BE＝(BA＋BD)，DF＝DC，则BE·BF＝________.答案解析连接AC，BD交于点O，以O为原点，以OC，OD的方向分别为x轴、y轴的正方向建立直角坐标系，如图所示， 菱形边长为2，∠ABC＝60°，∴A(－1,0)，B(0，－)，C(1,0)，D(0，)， BE＝(BA＋BD)，∴E为AD的中点，∴E， DF＝DC，∴F，∴BE＝，BF＝，∴BE·BF＝－＋＝.11．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面积．解(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，所以a·b＝－6，所以cosθ＝＝＝－....
