1.6基本不等式及其应用1．函数f(x)＝的最小值为()A．3B．4C．6D．8答案B解析f(x)＝＝|x|＋≥2＝4，当且仅当x＝±2时，等号成立，故选B.2．若x>0，y>0，则“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件是()A．x＝yB．x＝2yC．x＝2且y＝1D．x＝y或y＝1答案C解析 x>0，y>0，∴x＋2y≥2，当且仅当x＝2y时取等号．故“x＝2且y＝1”是“x＋2y＝2”的充分不必要条件．故选C.3．(2019·广州期末)若实数x，y满足xy＋6x＝4，则＋的最小值为()A．4B．8C．16D．32答案B解析实数x，y满足xy＋6x＝4，∴x＝∈，y>0，则＋＝y＋6＋≥2＋6＝8，当且仅当y＝1，x＝时取等号．∴＋的最小值为8.4．若a>0，b>0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为()A．8B．6C．4D．2答案C解析由lga＋lgb＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4，故选C.5．已知函数f(x)＝ex在点(0，f(0))处的切线为l，动点(a，b)在直线l上，则2a＋2－b的最小值是()A．4B．2C．2D.答案D解析由题意得f′(x)＝ex，f(0)＝e0＝1，k＝f′(0)＝e0＝1.∴切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0，∴a－b＋1＝0，∴a－b＝－1，∴2a＋2－b≥2＝2＝2＝，故选D.6.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为()A.≥(a>0，b>0)B．a2＋b2≥2(a>0，b>0)C.≤(a>0，b>0)D.≤(a>0，b>0)答案D解析由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝，又OC＝OB－BC＝－b＝，则FC2＝OC2＋OF2＝＋＝，再根据题图知FO≤FC，即≤，当且仅当a＝b时取等号．故选D.7．(多选)若x≥y，则下列不等式中正确的是()A．2x≥2yB.≥C．x2≥y2D．x2＋y2≥2xy答案AD解析由指数函数的单调性可知，当x≥y时，有2x≥2y，故A正确；当0>x≥y时，≥不成立，故B错误；当0≥x≥y时，x2≥y2不成立，故C错误；x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0成立，即x2＋y2≥2xy成立，故D正确．8．(多选)设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是()A．a＋b＋≥2B.≥C.≥a＋bD．(a＋b)≥4答案ACD解析 a＞0，b＞0，∴a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b且2＝，即a＝b＝时取等号，故A成立； a＋b≥2＞0，∴≤＝，当且仅当a＝b时取等号，∴≥不一定成立，故B不成立； ≤＝，当且仅当a＝b时取等号，＝＝a＋b－≥2－＝，当且仅当a＝b时取等号，∴≥，∴≥a＋b，故C一定成立； (a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b时取等号，故D一定成立．9．函数y＝(x>1)的最小值为________．答案2＋2解析 x>1，∴x－1>0，∴y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立．10．(2020·海南质检)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S7－S5＝3(a4＋a5)，则4a3＋的最小值为________．答案4解析设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)， S7－S5＝a7＋a6＝3(a4＋a5)，∴＝q2＝3.∴4a3＋＝4a3＋＝4a3＋≥2＝4，当且仅当4a3＝，即a3＝，a7＝时等号成立．∴4a3＋的最小值为4.11．已知正数a，b满足a＋b＝2，求＋的最小值．解＋＝·＝≥＝.当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号．所以＋的最小值为.12．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；(2)求＋的最小值．解(1) x>0，y>0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥2. 2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．因此有解得此时xy有最大值10.∴u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.∴当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大值1.(2) x>0，y>0，∴＋＝·＝≥＝，由解得当且仅当x＝，y＝时，等号成立．∴＋的最小值为.13．(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则()A.＋有最小值4B.有最大值C.＋有最大值D．a2＋b2有最小值答案ABCD解析正实数a，b满足a＋b＝1，即有a＋b≥2，可得0＜ab≤，即有＋＝≥4，即当a＝b时，＋取得最小值4，无最大值；由0＜≤，可得有最大值；由＋＝＝≤＝，可得当a＝b时，＋取得最大值；由a2＋b2≥2ab可得2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝1，则a2＋b2≥...
