排列组合问题的求解策略VIP免费

第1页共5页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共5页排列组合问题的求解策略长阳职业教育中心张庭松杨子敬[主题词]排列组合求解[摘要]计数问题是现实生活中最普遍排列与组合问题与现实生活密切相关，有关这类问题的解答的基础是两个计数原理，但是在实际求解过程中必须讲究解题策略和方法技巧。解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答。同时还要注意讲究一些策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面介绍几种常用的解题方法和策略。一、合理分类与准确分步法解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。例1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有（）A．120种B．96种C．78种D．72种分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有A44种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有A33A31A31种排法，由分类计数原理，排法共有A44+A33A31A31=78种，选C。解排列与组合并存的问题时，一般采用先选（组合）后排（排列）的方法解答。例2、4个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，恰有一空盒的方法有多少种？分析：因恰有一空盒，故必有一盒子放两球。1）选：从四个球中选2个有C42种，从4个盒中选3个盒有C43种；2）排：把选出的2个球看作一个元素与其余2球共3个元素，对选出的3盒作第2页共5页第1页共5页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共5页全排列有A33种，故所求放法有C42C43A33=144种。二、元素分析与位置分析法对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。例3、用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）。A．24个B。30个C。40个D。60个[分析]由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分两类：1）0排末尾时，有A42个，2）0不排在末尾时，则有A21A31A31个，由分数计数原理，共有偶数A42+A21A31A31=30个，选B。例4、马路上有8只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种？分析：表面上看关掉第1只灯的方法有6种，关第二只，第三只时需分类讨论，十分复杂。若从反面入手考虑，每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与关灯的排列，于是问题转化为“在5只亮灯的4个空中插入3只暗灯”的问题。故关灯方法种数为C43。三、插空法、捆绑法对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。例5、7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？分析：先将其余四人排好有A44种排法，再在这人之间及两端的5个“空”中选三个位置让甲乙丙插入，则有A53种方法，这样共有A44A53=1400种不同排法。第3页共5页第2页共5页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共5页对于局部“小整体”的排列问题，可先将局部元素捆绑在一起看作一个元，与其余元素一同排列，然后在进行局部排列。例6、7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法？分析：把甲、乙、丙三人看作一个“元”，与其余4人共5个元作全排列，有A55种排法，而甲乙、丙、之间又有A33种排法，故共有A55A33=7200种排法。四、总体淘汰法对于含有否定字眼的问题，可以从总体中把不符合要求的除去，此时需注意不能多减，也不能少减。例如在例3中，也可用此法解答：五个数字组成三位数的全排列有A53个，排好后发现0不能排首位，而且数字3，5也不能排末位，这两种排法要除去，故有A53−A42−A22A31A31=30个偶数。五、顺序固定问题用“除法”对于某几个元素顺序一定的排列...