整体思想的解题策略VIP免费

第1页共9页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共9页整体思想的解题策略人们在考虑问题时，通常把一个问题分成若干个简单的小问题，尽可能地分散难点，然后再各个击破，分而治之。本文所要介绍的解题方法与上述习惯方法恰恰相反。在解题时，细察命题的外形，把握问题的特征，展开联想，将各个局部因素合而为一，创设整体或整体处理，从而达到问题的解决，此方法称为整体思想方法。这种方法运用得当，常能化难为易，使解题思路出现豁然开朗的情景，达到快捷、简便的解题目的。一、构造整体在解题中，注意到问题的特征、创设整体，从而使问题得到解决。例1：证明12×34×56…×2n−12n＜1√2n+1证：设M=12×34×56…×2n−12n，N=23×45×67…×2n2n+1，显然M＜N则MN=(12×34×56…×2n−12n)(23×45×67…×2n2n+1)=12n+1M 2＜MNM∴2＜12n+1故M＜1√2n+1评注：本解法抓住M，N这两个整体，使问题得到解决。本题还可以用数学归纳法证明，但显然较为繁琐。例2：设三个方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0有公共实数解，求实数a、b、c之间的关系。解：设三个方程的公共实数根为x0，则ax02+bx0+c=0①bx02+cx0+a=0②cx02+ax0+b=0③++(a+b+c)(x①②③02+x0+1)=0第2页共9页第1页共9页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共9页x 02+x0+1=(x0+12)+34＞0，∴a+b+c=0评注：本题欲求a、b、c关系，似乎难以下手，若能构造a+b+c这一整体使问题的解决豁然开朗。二、整体求解解题过程中，视所求问题为一整体，根据条件的结构特征，合理变形，直接得到问题的答案。例3：设有四个数,其中每三个数之和分别为22、20、17、25，求此四个数。解：设此四个数之和为x，则得方程(x－22)+(x－20)+(x－17)+(x－25)=x，解得x=28∴四数依次为8、3、6、11评注：本题解法考虑到四数之和——问题的整体，可使问题中四个数变为只是一个未知数，从而使问题得到有效的解决。本题若按通常解题习惯，须分别设四个数，然后列出四个方程所组成方程组，解题较繁。例4：已知2sinα－cosα=1，求sinα+cosα+1sinα−cosα+1的值解：设sinα+cosα+1sinα−cosα+1=k，则(1－k)sinα+(1+k)cosα=k－1①又2sinα－cosα=1②解①②得sinα=2k3+kcosα=3k−33+k(k≠3)由(2k3+k)2+(3k−33+k)2=1解得k=0或k=2故原式的值为0或2评注：本解法利用sinα+cosα+1sinα−cosα+1=k这一整体进行求解，能简捷解决问题。本题若由已知条件2sinα－cosα=1及sin2α+cos2α=1联立解得sinα、cosα的值，第3页共9页第2页共9页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共9页再代入求值，计算较为繁琐。例5、三棱锥S-ABC的个侧面互相垂直，它们的面积分别是6m2,4m2,和3m2，求它的体积。解如图，设S-ABC的三侧棱长分别为xm,ym,zm,体积为Z，则由题意得12xy=6,12yz=4,12zx=3∴得(xyz)2=(24)2,则V=16xyz=16×24=4m3注本题没用解方程组的方法，先求x,y,z，而将xyz视为一整体求值，故简捷而巧妙。例6、球面内接圆台的高为h，球心到母线的距离为p,则球内接圆台的侧面积S=2πph分析与证明：如图，需求的是S=π(r’+r)l,①但r’,r,l均未知，下面寻找它们与已知量h,p的关系。为此作辅助线，将r’,r,l,h,p都集中到有联系的图形之中。（1）作DD’AB⊥⇒DD’=h（2）作EOAD⊥⇒E为AD的中点（垂直于弦的半径平分弦）（3）作EE‘OO⊥’⇒EE‘=r'+r2在RtDD△‘A和RtEE△‘O中DAOE⊥DD‘EE⊥‘⇒ADD∠‘=OEE∠‘ADD∠‘，∠OEE‘为锐角⇒DD△‘AEE∽△‘O⇒EE'OE=DD'AD即r+r'2p=hl⇒（r+r’）l=2ph②②代入①得S=2πph注按常规解法，必须把r,r’,l分别用p,h表示出来，但这样做相当困难，且几乎是不可能的。此时我们便该调整思路，用整体思想，将（r+r’）l视为一整体来求值，这样问题便巧妙的得到解答。三、整体换元在解题中，往往巧设某一整体为辅助元或未知元，或将某未知元整体用另SCBACADBABCD第4页共9页第3页共9页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第4页共9页一些未知元整体代换，寻求解题思路。例7：等差数列{an}、{bn}的前n项和分别...