三角形的证明培优习题解析1、如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=2，求AD的长．（1）证： AD⊥BC,∠BAD=45°，∴⊿ADB是等腰直角三角形，∠ABD=∠BAD∴AD=BD； AB⊥BC，BE⊥AC，∴∠ACD+∠DAC=90°，∠ACD+∠CBE=90°,∴∠DAC=∠CBE,又 ∠ADC=∠BDF=90°,∴△ADC≌△BDF(ASA),∴AC=BF, AB⊥BC，BE⊥AC，∴AE=EC，即AC=2AE，∴BF=AC=2AE。（2） △ABF≌△CBF∴DF=CD=2∴在Rt△CDF中，CF=22CDDF=22)2()2(=4=2 BE⊥AC，AE=EC,∴AF=FC,∴AD=AF+DF=2+2。2、如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（Ⅰ）若设AP=x，则PC=__________，QC=___________；（用含x的代数式表示）（Ⅱ）当∠BQD=30°时，求AP的长；（Ⅲ）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．2．解:(1)(6分)解法一：过P作PE∥QC则△AFP是等边三角形， P、Q同时出发、速度相同，即BQ=AP∴BQ=PF∴△DBQ≌△DFP,∴BD=DF ∠BQD∠BDQ=∠FDP=∠FPD=30°,∴BD=DF=FA=31AB=631=2,∴AP=2.解法二： P、Q同时同速出发，∴AQ=BQ设AP=BQ=x，则PC=6-x，QC=6+x在Rt△QCP中，∠CQP=30°,∠C=60°∴∠CQP=90°∴QC=2PC,即6+x=2（6-x）∴x=2∴AP=2（2）由（1）知BD=DF而△APF是等边三角形，PE⊥AF, AE=EF又DE+(BD+AE)=AB=6,∴DE+(DF+EF)=6，即DE+DE=6 DE=3为定值，即DE的长不变3．（3分）（2013?临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是3．解答：解： 四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠B=∠D=60°， AE⊥BC，AF⊥CD∴AB?AE=CD?AF，∠BAE=∠DAF=30°，∴AE=AF， ∠B=60°，∴∠BAD=120°，∴∠EAF=120°﹣30°﹣30°=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF，∠AEF=60°， AB=4，∴AE=2，∴EF=AE=2，过A作AM⊥EF，∴AM=AE?cos60°=3，∴△AEF的面积是：EF?AM=×2×3=3．故答案为：3．4．（3分）（2013?威海）将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF=25°．解答：解： AB=AC，∠A=90°，∴∠ACB=∠B=45°， ∠EDF=90°，∠E=30°，∴∠F=90°﹣∠E=60°， ∠ACE=∠CDF+∠F，∠BCE=40°，∴∠CDF=∠ACE﹣∠F=∠BCE+∠ACB﹣∠F=45°+40°﹣60°=25°．故答案为：25°．5．（11分）（2013?威海）【操作发现】：将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．【问题解决】：将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．（1）求证：△CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的长．解答：（1）由图①知BC=DE，∴∠BDC=∠BCD， ∠DEF=30°，∴∠BDC=∠BCD=75°， ∠ACB=45°，∴∠DOC=30°+45°=75°，∴∠DOC=∠BDC，∴△CDO是等腰三角形；（2）作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H，在Rt△DHF中，∠F=60°，DF=8，∴DH=43，HF=4，在Rt△BDF中，∠F=60°，DF=8，∴DB=83，BF=16，∴BC=BD=83， AG⊥BC，∠ABC=45°，∴BG=AG=43，∴AG=DH， AG∥DH，∴四边形AGHD为矩形，∴AD=GH=BF﹣BG﹣HF=16﹣43﹣4=12﹣43．6.（本题满分10分）如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边BD延长线上一点，连结AC、CE，使AB=AC.⑴求证：△BAD≌△AEC；⑵若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四边形ABDE的面积.解析：（1）证明： AB=AC,∴∠B=∠ACB.又 四边形ABDE是平行四边形∴AE∥BD，AE=BD，∴∠ACB=∠CAE=∠B，∴⊿DBA≌⊿AEC(SAS)⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（2）过A作AG⊥BC,垂足为G.设AG=x，在Rt△AGD中， ∠ADC=450，∴AG=DG=x，在Rt△AGB中， ∠B=300，∴BG=x3，⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分又 BD=10.∴BG-DG=BD,即103xx，解得AG=x=5351310.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分∴S平行四边形ABDE=BD·AG=10×（535）=50350.⋯⋯⋯⋯⋯⋯10...
