实用标准文案文档EBACDEBACDBACD四点共圆文武光华数学工作室潘成华平面几何中证四点共圆的几个基本方法方法一：平面上有四点ABCD、、、,若AD,则ABCD、、、四点共圆方法二线段ACBD、交于E,若AEECBEED,则ABCD、、、四点共圆方法三线段ACBD、交于E,若AEBECEED,则ABCD、、、四点共圆方法四：若四边形ABCD,180AC，则ABCD、、、四点共圆实用标准文案文档DDOCOCBABAOCADBECOADB方法四、已知AD是ABC△内角或外角平分线，ABAC,且BDDC,则ABCD、、、四点共圆证明设BAD,因为ADADDBDC,所以sinsinsinsinBCBADCAD，所以sinsinBC，内角时180BC,外角时BC，所以ABCD、、、四点共圆托勒密定理：Tolemy(托勒密定理）若四边形ABCD是圆O内接四边形,则AD?BC+AB?CD=AC?BD实用标准文案文档EDCBARQPEDCBASEABCD证明在AC上取点E,使∠EDC=∠ADB,因为∠ABD=∠ACD,所以△ABD～△EDC,△ADE～△BDC，于是(AB/CE)=(DB/DC),(AD/AE)=(DB/BC),于是AD?BC+AB?DC=AE?BD+BD?CE=AC?BD例1、已知点DE、在ABC内，ABDCBE,BAECAD.求证ACDBCE.证明(一)（文武光华数学工作室南京潘成华）作E关于BCABAC、、对称点PRQ、、,易知BRD≌BPD,ARD≌AQD,于是DPDRDQ,所以DCP≌DCQ,得到PCDQCD,进而BCEACD.证明（二）作BDS外接圆交AD延长线于S,可知ASCDBCABE,得到ABE∽ASC,所以ABS∽AEC,得到ACEASBDSB,所以BCEACD.实用标准文案文档EDBACKLJGFEDBACHPCBAD例2、已知（文武光华数学工作室南京潘成华）E是ABC内一点，点D在BC上，且BAEDAC,EDBADC.则180AECBED证明先证明ABBEACEC,过E作ABACBC、、垂线EFEGEL、、交ABACBC、、分别于FGL、、，直线ELAD、交于J,取AF中点K,易知BFEL、、、四点共圆，EGCL、、、四点共圆，所以sinsinFLABCFLCEBEACBLGLGBECE(1),(BC、是ABC的内角)，因为EDBADC，所以ELLJ,于是//KLAJ,易知AFEG、、、四点共圆，圆心是K，BAEDAC,所以ADFG,进而//KLFG，得到KL是FG中垂线，所以FLLG，(1)得ABBEACEC下面我们证明180AECBED，因为sinsin,ACAECEACAEsinsin,ABBAEBAEBE,两式相除得sinsinsinsinsinsinAECEACBADBAEBAEDACsinsinsinsinABBADECBDECBEDACDACBECDBEDEC,因为360AECBAEBEDDEC所以，180AECBED证明（二）在AB取H,使得AHBPDB,所以AHP∽ADC,进而得到AHD∽APC,易知HPDB、、、四点共圆，所以180APCBPDBHDAHD实用标准文案文档2143PCBAD2143IHPCBAD例3、叶中豪老师2013年国庆讲义一几何题我的解答已知，D是ABC底边BC上任一点，P是形内一点，满足12，34。求证：PBABPCAC。证明作BPDCPD、外接圆交ABAC、分别于HI、，易知AHP∽ADC,所以AHD∽APC，所以ACADPCDH（1）,易知API∽ABD,进而得到ABP∽ADI,所以ABADBPDI（2）,易知AHPI、、、四点共圆，所以AHIAPIABC,所以//HIBC,334IHDHDBHDPHBPADIIDCHID,所以HDID,进而根据（1）、（2）得到PBABPCAC。例4、已知ABC是锐角三角形，AD是BC边上中线，H是ABC垂心，HIAD于点I，求证实用标准文案文档GIDHBACFIDHCABIDHCABBCHI、、、四点共圆证明（一）：延长AD到G使得=ADDG,易知四边形ABGC是平行四边形，因为CHAB，BHAC,所以90HBGHCG,得到IBGCH、、、、，所以BCHI、、、四点共圆证明（二）HACHBDBFD,所以FD是⊙()AIHF切线，所以22DCFDDIDA,所以DIC∽DCA,得到DCADACBHI,所以BCHI、、、四点共圆第四题、第51届波兰数学奥林匹克，1999例5、已知在ABC中，ABAC,点P在ABC内部，点D是BC中点，CBPACP.求证180BPDAPC.实用标准文案文档DCBAPyyxxθγβαDCBAPGFDBCAP证明（文武光华数学工作室南京潘成华）设ACPx,ABPy,BPD,DPC,APB,APC,因为BDCD,可知sinsinBPPC，可知sinsinsinsinyx,（1），APAPABAC,可知sinsinsinsinyx得到sinsinsinsinyx（2），根据（1）、（2）得sinsinsinsin180，即180BPDAPC。证明(二)（文武光华数学工作室潘成华给出）延长CP交以A为圆心，AB为半径的圆于F,直线FA交BP于G,FACPPBC,,因此GPCB,于是G在⊙A上，PFG∽PBC,所以APF∽DPB,可知APFBPD,即180BPDAPCAPFAPC,得证实用标准文案文档FEDMOCBAPFEDMOCBASNFEDMCBA例6、已知M是ABC边BC中点，AM交ABC外接圆⊙O于D,过点D作//DEBC交⊙O于E,在AD上取点F,使得FCAC.求证AFCEFC证明(一)（文武光华数学工作室南京潘成华）因为//DEBC,点M是BC中点，所以ABEC...
