全等三角形1.在△ABC中，BC=AC，∠BCA=900，P为直线AC上一点，过A作AD⊥BP于D，交直线BC于Q．（1）如图1，当P在线段AC上时，求证：BP=AQ．（2）当P在线段AC的延长线上时，请在图2中画出图形，并求∠CPQ．（3）如图3，当P在线段CA的延长线上时，∠DBA=时，AQ=2BD．2.我们知道三角形的一条中线能将这个三角形分成面积相等的两个三角形，反之，若经过三角形的一个顶点引一条直线将这个三角形分成面积相等两个三角形，那么这条直线平分三角形的这个顶点的对边．如图1，S△ABD=S△ADC，则BD=CD成立．请你直接应用上述结论解决以下问题：（1）已知：如图2，AD是△ABC的中线，沿AD翻折△ADC，使点C落在点E，DE交AB于F，若△ADE与△ADB重叠部分面积等于△ABC面积的14，问线段AE与线段BD有什么关系？在图中按要求画出图形，并说明理由．（2）已知：如图3，在△ABC中，∠ACB=900，AC=2，AB=4，点D是AB边的中点，点P是BC边上的任意一点，连接PD，沿PD翻折△ADP，使点A落在E，若△PDE与△PDB重叠部分的面积等于△ABP面积的14，直接写出BP的值．QCBPDA图1CBA图2QCBPDA图3CBDA图1CBDA图2图3CBDAPDCBA备用图NMCABNMCDAB图1BAQDCMPG图2NFE3.在△ABC中，已知D为边BC上一点，若,ABCxBADyoo.（1）当D为边BC上一点，并且CD=CA，40x，30y时，则AB_____AC（填“=”或“”）；（2）如果把（1）中的条件“CD=CA”变为“CD=AB”，且x,y的取值不变，那么（1）中的结论是否仍成立？若成立请写出证明过程，若不成立请说明理由；（3）若CD=CA=AB，请写出y与x的关系式及x的取值范围.（不写解答过程，直接写出结果）4.在Rt△ABC中，AC=BC，P是BC垂直平分线MN上一动点，直线PA交CB于点E，F是点E关于MN的对称点，直线PF交AB于点D，连接CD交PA于点G.（1）如图1，若P点在△ABC的边BC上时，此时点P、E、F重合，线段AP上的点Q关于的对称点D恰好在边AB上，连接CQ，求证：CQ平分∠ACB；（2）如图2，若点P移到BC上方，且∠CAP=22.5°，求∠CDP的度数；（3）若点P移动到△ABC的内部时，线段AE、CD、DF有什么确定的数量关系，请画出图形，并直接写出结论：.DCBAADCBEEBCGFDA5.如图，点D、E分别在等边△ABC的AB、AC上，且CD＞BD，AE＞EC，AD和BE相交于点F..（1）若∠BAD=∠CBE，则ADBE；（填“＞”、“=”、“＜”）（2）若AD=BE，求证：∠BAD=∠CBE；（3）在（2）的条件下，以AB为边作如图所示的等边△ABG，连接FG，若FG=11，BF=3，请直接写出线段AF的长度为.6.已知：点A、C分别是∠B的两条边上的点，点D、E分别是直线BA、BC上的点，直线AE、CD相交于点P(1)点D、E分别在线段BA、BC上①若∠B＝60°（如图1），且AD＝BE，BD＝CE，则∠APD的度数为___________②若∠B＝90°（如图2），且AD＝BE，BD＝CE，求∠APD的度数(2)如图3，点D、E分别在线段AB、BC的延长线上，若∠B＝90°，AD＝BC，∠APD＝45°，求证：BD＝CE7.（1）如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．求证：AD=BE．（2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE边DE上的高，连接BE．①求证：2CM+BE=AE；②若将图2中的△DCE绕点C旋转至图3所示位置，①中的结论还成立吗？若不成立，写出它们之间的数量关系．8.（1）如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线BF交AC于F，过点F作DF∥BC，求证：BD=DF．（2）如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E．那么BD，CE，DE之间存在什么关系？并证明这种关系．（3）如图3，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E．那么BD，CE，DE之间存在什么关系。请写出你的猜想．（不需证明）9.已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M。请探究：（1）如图（１），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论。（2）如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（１）中的结论还成立吗？...
