自然许多的物理现象均牵涉到短时间内量的变化VIP专享VIP免费

3導數與導函數自然許多的物理現象均牽涉到短時間內量的變化，例如汽車的瞬間加速度，或者是運動選手的暴發力等等。如果數據可以簡化成一個數學函數，那麼這個函數的導函數(derivative)即是量測這些瞬間變化率的一個量規，而導數即是用量規所量測到的數值。本章將介紹導函數的求法、它們的物理觀念，以及有關Maple用來計算導函數之指令等等。大3.1切線與導函數...........................................................3-23.2導函數的求法...........................................................3-173.3Maple的微分指令....................................................3-223.4三角函數的導函數...................................................3-283.5鏈鎖律.......................................................................3-333.6高階導函數...............................................................3-373.7隱微分法...................................................................3-413.8微分量與近似值.......................................................3-46第2页共57页01xxhxy)()(01xfxf)(xfyPQ0x1x圖3.1.1割線的斜率0101sec)()(xxxfxfmL),(00yx),(11yx编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共57页3.1切線與導函數本節介紹了函數圖形於某一點的切線，以及切線與導函數之間的關係。首先從幾何上的觀點來探討切線於幾何上的意義。3.1.1切線假設P(x0,y0)與Q(x1,y1)為函數f(x,y)圖形上的兩點，如圖3.1.1所示。由(1.4.1)式可知，連接P、Q兩點之直線L的斜率為msec=y1−y0x1−x0=f(x1)−f(x0)x1−x0(3.1.1)直線L稱為割線(secantline)，而割線方程式可以簡單的由兩點式或點斜式來求得。當x1趨近於x0時，直線的斜率將趨近於函數在x0之切線(tangentline)的斜率，由(3.1.1)式可得函數在x0之切線的斜率為mtan=limx1→x0f(x1)−f(x0)x1−x0(3.1.2)如果令h=x1−x0，則當x1→x0時，h→0。所以(3.1.2)式可改寫成mtan=limh→0f(x0+h)−f(x0)h(3.1.3)定義3.1.1切線的斜率設P(x0,y0)為函數y=f(x)圖形上的一點，則通過P點之切線的斜率為第3页共57页第2页共57页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共57页mtan=limh→0f(x0+h)−f(x0)hMaple的student程式庫裡提供了showtangent指令，用來繪製函數於某一點之切線。它的用法與選項與plot指令相似，但需額外指定所欲繪製切線之點。讀者必須注意，在使用showtangent指令之前，必須先載入student程式庫。showtangent(f(x),x=x0,x=x1..x2,options)以options為選項，範圍取x1≤x≤x2，繪出切f(x)於(x0,f(x0))的切線【例題3.1.1】試求切f(x)=x2圖形於點(1,1)之切線的斜率。【解】因x0=1，f(x0)=1，由定義3.1.1可知，mtan=limh→0f(x0+h)−f(x0)h=limh→0(1+h)2−1h=limh→01+2h+h2−1h=limh→0h(2+h)h=limh→0(2+h)=2故可知通過點(1,1)之切線斜率為2。現在再嚐試利用showtangent指令來繪出此條切線，並由圖上來驗證所得之斜率的正確性。第4页共57页第3页共57页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第4页共57页載入student繪圖程式庫。>with(student):繪出通過(1,1)之切線，並指定繪圖的比例為1:1。由圖中約略可見切線的斜率為2，剛好符合本題的計算結果。>showtangent(x^2,x=1,x=0..2,>y=0..2,scaling=constrained);繪製函數的切線，除了使用showtangent指令之外，也可以利用割線的繪圖來一步步的逼近切線，如此更可說明了函數圖形之切線於幾何上的意義。接下來以函數f(x)=−(x−3)2+9為範例來做說明。首先於函數圖形上取P、Q兩點，求出通過P、Q兩點之直線方程式並做圖，然後將Q點往P點移動，看看通過P、Q兩點的直線會有什麼變化。載入plots與student繪圖程式庫。>with(plots):>with(student):定義f(x)=−(x−3)2+9。>f:=x->-(x-3)^2+9;:=fx()x329第5页共57页第4页共57页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第5页共57页繪出f(x)的圖形，由圖中可見...