.页脚第一节整数的p进位制及其应用正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。基础知识给定一个m位的正整数A，其各位上的数字分别记为021,,,aaamm，则此数可以简记为：021aaaAmm（其中01ma）。由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A可以表示成10的1m次多项式，即012211101010aaaaAmmmm，其中1,,2,1},9,,2,1,0{miai且01ma，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(aaaAmm。在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021aaaAmm，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。为了具备一般性，我们给出正整数A的p进制表示：012211apapapaAmmmm，其中1,,2,1},1,,2,1,0{mipai且01ma。而m仍然为十进制数字，简记为pmmaaaA)(021。第二节整数的性质及其应用（1）基础知识整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。1．整除的概念及其性质在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。定义：设ba,是给定的数，0b，若存在整数c，使得bca则称b整除a，记作ab|，并称b是a的一个约数(因子)，称a是b的一个倍数，如果不存在上述c，则称b不能整除a记作ba。由整除的定义，容易推出以下性质：(1)若cb|且ac|，则ab|(传递性质)；.页脚(2)若ab|且cb|，则)(|cab即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。若反复运用这一性质，易知ab|及cb|，则对于任意的整数vu,有)(|cvaub。更一般，若naaa,,,21都是b的倍数，则)(|21naaab。或着iba|，则niiibca1|其中niZci,,2,1,；(3)若ab|，则或者0a，或者||||ba，因此若ab|且ba|，则ba；(4)ba,互质，若cbca|,|，则cab|；(5)p是质数，若naaap21|，则p能整除naaa,,,21中的某一个；特别地，若p是质数，若nap|，则ap|；(6)(带余除法)设ba,为整数，0b，则存在整数q和r，使得rbqa，其中br0，并且q和r由上述条件唯一确定；整数q被称为a被b除得的(不完全)商，数r称为a被b除得的余数。注意：r共有b种可能的取值：0,1，⋯⋯，1b。若0r，即为a被b整除的情形；易知，带余除法中的商实际上为ba（不超过ba的最大整数），而带余除法的核心是关于余数r的不等式：br0。证明ab|的基本手法是将a分解为b与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生，下面两个分解式在这类论证中应用很多，见例1、例2。若n是正整数，则))((1221nnnnnnyxyyxxyxyx；若n是正奇数，则))((1221nnnnnnyxyyxxyxyx；（在上式中用y代y）(7)如果在等式mkkniiba11中取去某一项外，其余各项均为c的倍数，则这一项也是c的倍数；(8)n个连续整数中，有且只有一个是n的倍数；(9)任何n个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续的正整数之积能被6整除；2．奇数、偶数有如下性质：(1)奇数奇数=偶数，偶数偶数＝偶数，奇数偶数＝奇数，偶数偶数＝偶数，奇数.页脚偶数＝偶数，奇数奇数＝奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数，奇数与偶数的和为奇数，和为偶数；（2）奇数的平方都可以表示成18m的形式，偶数的平方可以表示为m8或48m的形式；（3）任何一个正整数n，都可以写成lnm2的形式，其中m为负整数，l为奇数。（4）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数...
