(完整版)高中导数经典知识点及例题讲解VIP专享VIP免费

1§1.1变化率与导数1.1.1变化率问题自学引导1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义．2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率.课前热身1.函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为ΔyΔx＝________.2．平均变化率另一种表示形式：设Δx＝x－x0，则ΔyΔx＝________，表示函数y＝f(x)从x0到x的平均变化率.1.fx2－fx1x2－x1答案2.fx0＋Δx－fx0Δx名师讲解1.如何理解Δx，Δy的含义Δx表示自变量x的改变量，即Δx＝x2－x1；Δy表示函数值的改变量，即Δy＝f(x2)－f(x1)．2．求平均变化率的步骤求函数y＝f(x)在[x1，x2]内的平均变化率．(1)先计算函数的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．(2)计算自变量的增量Δx＝x2－x1.(3)得平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1.对平均变化率的认识函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y＝sinx在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在[0，π2]上的平均变化率为sinπ2－sin0π2－0＝2π.在平均变化率的意义中，f(x2)－f(x1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx＝x2－x1≠0.2典例剖析题型一求函数的平均变化率例1一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求t＝0到t＝1的平均速度．分析t＝0时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量ΔS＝S(1)－S(0)，再求时间改变量Δt＝1－0＝1.求商ΔSΔt就可以得到平均速度．解(1)由于v＝St＝3t－t2t＝3－t.∴当t＝0时，v0＝3，即为初速度．(2)ΔS＝S(1)－S(0)＝3×1－12－0＝2Δt＝1－0＝1∴v＝ΔSΔt＝21＝2.∴从t＝0到t＝1的平均速度为2.误区警示本题1不要认为t＝0时，S＝0.所以初速度是零.变式训练1已知函数f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔyΔx＝()A．3B．3Δx－(Δx)2C．3－(Δx)2D．3－Δx解析Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2)＝－(Δx)2＋3Δx.∴ΔyΔx＝－Δx2＋3ΔxΔx＝－Δx＋3答案D题型二平均变化率的快慢比较例2求正弦函数y＝sinx在0到π6之间及π3到π2之间的平均变化率．并比较大小．分析用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小．解设y＝sinx在0到π6之间的变化率为k1，则3k1＝sinπ6－sin0π6－0＝3π.y＝sinx在π3到π2之间的平均变化率为k2，则k2＝sinπ2－sinπ3π2－π3＝1－32π6＝32－3π. k1－k2＝3π－32－3π＝33－1π>0，∴k1>k2.答：函数y＝sinx在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为32－3π，且3π>32－3π.变式训练2试比较余弦函数y＝cosx在0到π3之间和π3到π2之间的平均变化率的大小．解设函数y＝cosx在0到π3之间的平均变化率是k1，则k1＝cosπ3－cos0π3－0＝－32π.函数y＝cosx在π3到π2之间的平均变化率是k2，则k2＝cosπ2－cosπ3π2－π3＝－3π. k1－k2＝－32π－(－3π)＝32π>0，∴k1>k2.∴函数y＝cosx在0到π3之间的平均变化率大于在π3到π2之间的平均变化率．题型三平均变化率的应用例3已知一物体的运动方程为s(t)＝t2＋2t＋3，求物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度．4分析由物体运动方程―→写出位移变化量Δs―→ΔsΔt解物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的位移增量Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝[(1＋Δt)2＋2(1＋Δt)＋3]－(12＋2×1＋3)＝(Δt)2＋4Δt.物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度为ΔsΔt＝Δt2＋4ΔtΔt＝4＋Δt.变式训练3一质点作匀速直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)＝t2＋1，该质点在[2,2＋Δt](Δt>0)上的平均速度不大于5，求Δt的取值范围．解质点在[2,2＋Δt]上的平均速度为v－＝s2＋Δt－s2Δt＝[2＋Δt2＋1]－22＋1Δt＝4Δt＋Δt2Δt＝4＋Δt.又v－≤5，∴4＋Δt≤5.∴Δt≤1，又Δt>0，∴Δt的取值范围为(0,1].§1.1函数的单调性与极值1.1.2导数的概念自学引导1.经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念建立的一些实际背景．2．了解瞬时变化率的含义，知道瞬时变化率就是导数．53．掌握函数f(x)在某一点x0处的导数定义，并且会用导数的定义求一些简单函数在某一点x0处的导数.课前热身1.瞬时速度．设...