上海大学2019～2020学年秋季学期本科生课程自学报告课程名称：《概率论与随机过程》课程编号：07275061题目:中心极限定理在大气激光通信同步帧中的应用学生姓名:XXX学号:1712XXXX评语:成绩:任课教师:冯国瑞评阅日期:1中心极限定理在大气激光通信同步帧中的应用2019.10.28摘要：本报告主要是对随机变量的特征函数、大数定理与中心极限定理、随机序列及其统计特性、随机序列的功率谱密度、随机序列通过离散线性系统共计五项内容的知识点进行总结，并以中心极限定理为专题示例，介绍中心极限定理在大气激光通信同步帧中的应用，从大气激光通信的信道特点入手，建立了大气激光通信信道模型。一、自学内容小结与分析：1、随机变量的特征函数在对随机变量的分析过程中，单单由数字特征无法确定其分布函数，所以引入特征函数。1.1随机变量X的特征函数定义C(ju)是概率密度函数的傅里叶变换，我认为它与通常意义上的傅里叶正变换在指数因子上差一个符号，因此也可以看成是傅里叶变换的一个复共轭，那么关于特征函数的一些运算就可以采用傅里叶变换的方式，从而可以简化运算的过程和减少运算量。由傅里叶反变换的公式可以从特征函数求出密度函数，即1.2特征函数的性质性质1：两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积，即若，式中，，，为N个两两互相独立的随机变量，则：性质2：求矩公式性质3：级数展开式。将特征函数在原点用台劳级数展开，可得：举例：求分布的随机变量的均值与方差？解：方差22、大数定理与中心极限定理大数定律是叙述随机变量序列的前一些项的算术平均值在某种条件下收敛到这些项的均值的算术平均值；中心极限定理则是确定在什么情况下，大量随机变量之和的分布逼近于正态分布。2.1大数定理2.1.1弱大数定理（辛钦大数定理）：设，，是相互独立的，服从同一分布的随机变量序列，且具有数学期望作前n个变量的算术平均有，则对于任意，2.1.2伯努利大数定理：设是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次实验中发生的概率，则对于任意正数，有或2.2中心极限定理设随机变量，，，，相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差：，，则随机变量之和的标准化变量的分布函数对于任意x满足对于属于正态分布的指标数据，可以很快捷地对它进行下一步假设检验，并推算出对应的置信区间；而对于那些不属于正态分布的数据，根据中心极限定理，在样本容量很大时，总体参数的抽样分布是趋向于正态分布的，最终都可以依据正态分布的检验公式对它进行下一步分析。举例：某炮兵阵地对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击中炮弹的命中数是一个随机变量，其期望为2，方差为1.69，求在100次射击中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。解：设表示第k次射击中的炮弹数，则，，且，应用中心极限定理，近似服从N(0，1)，由题意n=100，，=13，所以：所以在100次射击中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率为87.64%.3、随机序列及其统计特性随机序列是对随机信号采样得到的结果，按信号的时间和状态可以分为连续型随机序列3（时间离散、幅度连续）和离散型随机序列（时间和幅度都离散）。将连续随机过程以为间隔进行等间隔抽样，即得随机序列，表示为：，，，，，，，定义均值向量为：自相关矩阵：若将矩阵元素改换成协方差，即则得到协方差矩阵3.1自相关阵的性质性质1：对称性性质2：半正定型协方差矩阵的每一个元素反映的是随机向量X的不同分量之间的协方差，而不是不同样本之间的协方差。举例：求在[0，1]区间均匀分布的独立随机序列的均值向量，自方差阵与协方差阵，设N=3.解：，，则均值为自相关函数，若i=j，则若则于是均值向量和自相关矩阵为：协方差矩阵为：4任何独立随机序列的协方差阵均为对角阵，且对角元素为该随机序列的方差。4、随机序列的功率谱密度设取样间隔为，则可以将离散相关函数用连续时间函数表示为：等式两边取傅里叶变换则有：在随机过程中我学习到功率谱密度是随机过程X（t）在单位频带内在1Ω电阻上消耗的平均功率，在平稳随机过程下，时间平均自相关函数与功率谱密度为傅里叶变换对。对比随机序列的功率谱密度也可以表示为自相...
