知识点及例题知识点一：勾股定理假如直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。（2）勾股定理只合用于直角三角形，而不合用于锐角三角形和钝角三角。（3）理解勾股定理的某些变式：c2=a2+b2,a2=c2-b2，b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理措施一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。图（1）中，因此。措施二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。图（2）中，因此。措施三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相似的正方形。在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,因此，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.措施四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。，因此。知识点三：勾股定理的作用1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3．用于证明平方关系的问题；4．运用勾股定理，作出长为的线段。2.在理解的基础上熟悉下列勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。熟悉下列勾股数，对解题是会有协助的：①3、4、55②、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．假如(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。经典例题透析类型一：勾股定理的直接使用方法1、在RtABC△中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思绪点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析：(1)在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=(2)在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=(3)在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=总结升华：有某些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来处理。如：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的措施，把四边形面积转化为三角形面积之差或和。举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?【答案】 ∠ACD=90°AD=13,CD=12∴AC2=AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又 ∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB=4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，.求：BC的长.思绪点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.解析：作于D，则因，∴（的两个锐角互余）∴（在中，假如一种锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的二分之一）.根据勾股定理，在中，.根据勾股定理，在中，.∴.总结升华：运用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一种重要应用.当题目中没有垂直条件时，也常常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.举一反三【变式1】如图，已知：，，于P.求证：.思绪点拨:图中已经有两个直角三角形，不过还没有以BP为边的直角三角形.因此，我们考虑构造一种以BP为一边的直角三角形.因此连结BM.这样，实际上就得到了4个直角三角形.那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系.解析：连结BM，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有.∴又 （已知），∴.在中，根据勾股定理有，∴.【变式2】已知：如图，∠B=D=90°∠，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。分析：怎样构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，深入根据本题给定的边选第三种较为简朴。解析：延长AD、BC交于E。 ∠A=60°∠，∠B=90°，∴∠E=30°。∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。 DE2=CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。∴S四边形ABCD=SABE△-SCDE△=AB·BE-CD·DE=类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定...
