第十一章三角形11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角学习目标1.了解三角形的内角,会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.2.了解辅助线的作用,能准确、规范地利用辅助线进行证明.3.规范推理过程,能够独立完成简单的证明过程.学习过程一、自主学习问题1:如图,在△ABC中,∠A+∠B+∠C等于多少度?问题2:这个结论你是如何得出的?问题3:利用这些方法得出的结论准确吗?二、深化探究探究1:观察三角形的构成,探索三角形的概念问题1:如何用剪拼的方法验证△ABC的内角和等于180°?问题2:在图①、图②中,直线l有什么特点,它存在吗?图①或图②问题3:这种原图形中不存在,我们为了解题需要而自己加上的线被称之为辅助线.利用图①,你能想出证明“三角形内角和等于180°”的方法吗?问题4:利用图①证明三角形内角和定理“三角形内角和等于180°”.问题5:你能利用图②证明“三角形内角和等于180°”吗?探究2:利用所学知识解决基础问题问题1:如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西40°方向,从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度?问题2:对于上面的问题,你还能想出其他的解法吗?三、练习巩固练习1:说出下列各图中x的值.练习2:下列各组角中哪三个角是同一个三角形的内角?(1)70°,60°,30°,80°;(2)110°,20°,50°,40°;(3)52°,32°,58°,90°;(4)36°,108°,36°,72°.练习3:如图,从A处观测C处时仰角∠CAD=30°,从B处观测C处时仰角∠CBD=45°,从C处观测A,B两处时视角∠ACB是多少度?四、深化提高练习1:思考:(1)一个三角形最多有几个直角,为什么?(2)一个三角形最多有几个钝角,为什么?(3)一个三角形至少有几个锐角,为什么?练习2:已知等腰三角形的两个底角相等,则:(1)如果顶角为80°,那么它的一个底角等于多少度?(2)如果它的一个角为80°,那么它的一个底角等于多少度?练习3:如图,已知∠1=15°,∠2=30°,∠A=50°,求∠BDC的度数.参考答案一、自主学习问题1:∠A+∠B+∠C=180°.问题2:将三角形的每个内角剪下,拼成一个平角,或者用量角器进行测量.问题3:不准确(或准确).二、深化探究探究1:问题1:将△ABC的三个内角分别剪下,再拼成一个平角.如图①、图②.图①或图②问题2:直线l∥BC,直线l不存在,是我们自己画上的.问题3:利用平行的性质和平角的定义可以证明.问题4:已知:△ABC.求证:∠A+∠B+∠C=180°.证明:如图,过点A作直线l,使l∥BC. l∥BC,∴∠2=∠4(两直线平行,内错角相等).同理,∠3=∠5. ∠1,∠4,∠5组成平角,∴∠1+∠4+∠5=180°(平角定义).∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代换),即∠BAC+∠B+∠C=180°.问题5:已知:△ABC.求证:∠A+∠B+∠C=180°.证明:如图,延长BC,过点C作直线l,使l∥AB. l∥AB,∴∠1=∠4(两直线平行,内错角相等),∠2=∠5(两直线平行,同位角相等). ∠3,∠4,∠5组成平角,∴∠3+∠4+∠5=180°(平角定义).∴∠3+∠1+∠2=180°(等量代换),即∠A+∠B+∠BCA=180°.探究2:问题1:解:∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°. AD∥BE,∴∠BAD+∠ABE=180°(两直线平行,同旁内角互补).∴∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°,∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.∴在△ABC中,∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°.答:从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.问题2:解:过点C作CF∥AD. CF∥AD,∴∠ACF=∠DAC=50°(两直线平行,内错角相等). CF∥BE,∴∠BCF=∠CBE=40°(两直线平行,内错角相等).∴∠ACB=∠ACF+∠BCF=50°+40°=90°.答:从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.三、练习巩固练习1:解:图中的x值分别是70,60,30,50.练习2:解:由三角形内角和等于180°可以知道,各组中同一个三角形的内角分别如下:(1)70°,30°,80°;(2)110°,20°,50°;(3)32°,58°,90°;(4)36°,36°,72°.练习3:解:由三角形内角和等于180°可以知道,在△ACD中,∠ACD=60°,在△BCD中,∠BCD=45°.所以∠ACB=∠ACD-∠BCD=60°-45°=15°.四、深化提高练习1:解:(1)一个三角形最多有一个直角.如果一个三角形有两个角是直角,那么三角形的内角和大于180°.这个结果与三角形内角和等于180°矛盾,所以一个三角形最多有一个直角.(2)一个三角形最多有一个钝角.如果一个三角形有两个角是钝角,...
