平行四边形1．平行四边形的定义(1)定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形的定义有两层意思：①是四边形；②两组对边分别平行．这两个条件缺一不可．(2)表示方法：平行四边形用符号“”表示．平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．(3)平行四边形的基本元素：边、角、对角线．平行四边形的定义的作用：平行四边形的定义既是性质，又是判定方法．①由定义可知平行四边形的两组对边分别平行；②由定义可知只要四边形中有两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形．【例1】对于平行四边形ABCD，AC与BD相交于点O，下列说法正确的是()．A．平行四边形ABCD表示为“ACDB”B．平行四边形ABCD表示为“ABCD”C．AD∥BC，AB∥CDD．对角线为AC，BO解析：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知平行四边形的两组对边平行，故选C.答案：C2．平行四边形的性质(1)平行四边形的对边平行且相等．例如：如图①所示，在ABCD中，ABCD，ADBC.由上述性质可得，夹在两条平行线间的平行线段相等．如图2，直线l1∥l2.AB，CD是夹在直线l1，l2间的平行线段，则四边形ABCD是平行四边形，故ABCD.(2)平行四边形的对角相等，邻角互补．例如：如图①所示，在ABCD中，∠ABC＝∠CDA，∠BAD＝∠BCD.∠ABC＋∠BAD＝180°，∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BCD＋∠CDA＝180°，∠BAD＋∠CDA＝180°.(3)平行四边形的对角线互相平分．例如：如图①所示，在ABCD中，OA＝OC，OB＝OD.图①图②图③(4)经过平行四边形对角线的交点的直线被对边截得的两条线段相等，并且该直线平分平行四边形的面积．例如：如图③所示，在ABCD中，EF经过对角线的交点O，与AD和BC分别交于点E，F，则OE＝OF，且S四边形ABFE＝S四边形EFCD.【例2】ABCD的周长为30cm，它的对角线AC和BD交于O，且△AOB的周长比△BOC的周长大5cm，求AB，AD的长．分析：依题意画出图形，如图，△AOB的周长比△BOC的周长大5cm，即AO＋AB＋BO－(BO＋OC＋BC)＝5(cm)．因为OA＝OC，OB为公共边，所以AB－BC＝5(cm)．由AB＋BC＝＝15(cm)可求AB，BC，再由平行四边形的对边相等得AD的长．解： △AOB的周长比△BOC的周长大5cm，∴AO＋AB＋BO－(BO＋OC＋BC)＝5(cm)． 四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，∴AB－BC＝5(cm)． ABCD的周长为30cm，∴AB＋BC＝15(cm)．∴得∴AB＝10cm，AD＝BC＝5cm.3．平行四边形的判定(1)方法一：(定义判定法)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形的定义是判定平行四边形的根本方法，也是其他判定方法的基础．关于边、角、对角线方面还有以下判定定理．(2)方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．如图，连接BD，由AD＝BC，AB＝CD，可证明△ABD≌△CDB，所以∠CDB＝∠ABD，∠CBD＝∠ADB，从而得到AB∥CD，AD∥BC.由定义得到四边形ABCD为平行四边形．其推理形式为： AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．(3)方法三：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．如图，由∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，可得∠B+∠C=180°，∠A+∠B=180°.从而得到AB∥DC，AD∥BC.由定义得到四边形ABCD为平行四边形，其推理形式为： ∠A=∠C，∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形．(4)方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形．其推理形式为：如图， OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形．(5)方法五：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．其推理形式为：如图， AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．(1)判定方法可作为“画平行四边形”的依据；(2)一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形．【例3】已知，如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，AO＝CO.四边形ABCD是平行四边形，请说明理由．解：因为AB∥CD，所以∠BAC＝∠DCA.又因为AO＝CO，∠AOB＝∠COD，所以△ABO≌△CDO.所以BO＝DO.所以四边形ABCD是平行四边形．4．三角形的中位线(1)定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．(2)性质：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半．(1)一个三角形有三条中位线，每条中位线与第三边都有相应的位置关系和数量关系；(2...
