八年级数学上册 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 14.1.2 直角三角形的判定学案 （新版）华东师大版-（新版）华东师大版初中八年级上册数学学案VIP免费

2直角三角形的判定课前知识管理1.勾股定理的逆定理“如果三角形三边分别为a、b、c，且满足a＋b＝c.那么这个三角形是直角三角形．”我们在判断一个三角形是不是直角三角形时，可直接运用这个逆定理．如图所示，在△ABC中，如果AC＋BC＝AB，那么△ABC就是直角三角形．2．勾股定理的逆定理与勾股定理的联系与区别联系：（1）两者都与a＋b＝c有关，（2）两者所讨论的问题都是直角三角形.区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系，“a＋b＝c”；勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足a＋b＝c”为条件，进而得到这个三角形是直角三角形，是判别一个三角形是否是直角三角形的一个方法．名师导学互动典例精析：知识点：勾股定理逆定理例1、已知三角形的三边长分别为①7，40，42；②，，1；③2mn，（m2-n2），（m2+n2）2，是直角三角形的序号是.【解题思路】运用勾股定理的逆定理判断.对于①72+402=49+1600=1649，422末位是4，故72+402≠422；对于②（）2+（）2=+==1；对于③（2mn）2+（m2－n2）2=4m2n2+m4－2m2n2+n4=m4+2m2n2+n4=（m2+n2）2.【解】填②③.【方法归纳】如果三角形的三边长a、b、c（c为最大边）有下面关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.对应练习：如图所示，在某市的地图上有三个景点A、B、C，已知景点A、B之间的距离为0．4cm，景点C、D之间的距离为0．3cm，景点A、C之间的距离为0．5cm，问这三个景点为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？知识点2：勾股定理及其逆定理的综合运用例2、如图，在四边形中，，且，，，，求四边形的面积．【解题思路】连接，由已知条件，易知，抓住数字特征：“，，”,联想勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，于是，求出与的面积之和，即为四边形的面积．【解】连接，由，知是直角三角形，由勾股定理，得．又，即，所以是直角三角形．于是，，，．【方法归纳】在运用勾股定理的逆定理判断三角形是不是直角三角形时，一是要根据三角形中的三条边，看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方；二是注意将一组勾股数同时扩大或缩小同样的倍数所得数仍是勾股数．对应练习：如图，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连结BD，则BD2的长为.知识点3：运用勾股定理逆定理判定三角形的形状例3、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）判定△ABC是否为直角三角形．【解题思路】运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大．②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值．③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形．【解】由于a2+b2=（n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2=n4＋2n2＋1，从而a2+b2=c2，故可以判定△ABC是直角三角形．【方法归纳】要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大，根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可．知识点3：运用勾股定理逆定理计算线段长度例4、如图，在ΔABC中，D是BC边上的点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求DC的长．【解题思路】已经知道了AD=12，AC=15，要求DC的长，只需知道∠ADC为直角即可，而△ABD的三边知道，可以由勾股定理逆定理判定∠ADB为直角，从而得出∠ADC为直角.【解】在ΔABD中，由AD2+BD2=122+52=132=AB2,可知AD2+BD2=AB2，则由勾股定理的逆定理知∠ADB=90º，在RtΔADC中，DC2=152-122=81=92.所以DC=9.【方法归纳】当题目中要求的问题与线段的长有关时，用勾股定理来解答是常见思路.对应练习：已知:如图,在△ABC中,AB=17,BC=16,BC边上的中线AD=15.求证:△ABC为等腰三角形.知识点4：运用勾股定理逆定理计算图形面积例4、如图所示，在四边形ABCD中，∠A=90°，且AB=9，BC=20，CD=12，求四边形ABCD的面积.【解题思路】连结BD,如图,由已知条件易知BD=15,通过观察“15,20,25”这组数,可知这组数是我们熟悉的一组勾股数,那么根据勾股定理的逆定理可得△BCD是直角三角形,于是,求出Rt△ABD与Rt△BCD的面积之和,即可求得四边形ABCD的面积.【解】连结BD,如图....