秋九年级数学上册 23.4 中位线学案2 （新版）华东师大版-（新版）华东师大版初中九年级上册数学学案VIP免费

23.4中位线课前知识管理1、连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.如图1.在△ABC中，点E，F分别是AB、AC的中点，则线段EF就是△ABC的一条中位线.定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.用符号语言表述为：如图，在△ABC中，点E，F分别是AB、AC的中点，则EF∥BC，并且.名师导学互动典例精析：知识点1：用三角形中位线判断四边形形状例1、在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是（）（A）等腰梯形（B）矩形（C）菱形（D）正方形【解题思路】因为梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，所以梯形为等腰梯形，等腰梯形的对角线长相等，即AC=BD，而根据三角形中位线定理，可知EF与HG都平行且等于AC的一半，同理，EH和FG都平行且等于BG的一半，所以EF=FG=GH=HE，所以四边形为菱形.【解】选C.【方法归纳】顺次连结四边形各边中点，原四边形的两条对角线和中点四边形之间的关系为：对应练习：顺次连结等腰梯形四边中点得到一个四边形，再顺次连结所得四边形各边中点得到的图形是.答案：矩形.知识点2：利用三角形中位线计算例2、如图，在等腰梯形中，，，，相交于点，且，顺次连结等腰梯形各边中点所得四边形的周长是（）A．24B．20C．16D．12【解题思路】过D作FD∥AC交BC的延长线交于E,由已知条件易知是等边三角形,而四边形ACED为平行四边形,易得AC=BD=BE=DE=AD+BC=8,由三角形中位线定理可得,中位线等于第三边的一半,所以顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形的周长为16.【解】选C.【方法归纳】梯形中常见的辅助线常有平移一腰，作底边上的高线，平移一条对角线，延长两腰等方法.通过辅助线将梯形转化为特殊三角形，或平行四边形，矩形等以便找出等量关系.对应练习：如图所示，EF是△ABC的中位线，BD平分交EF于D，若ED=2，则EB=________________.答案：2知识点3：应用三角形中位线定理说明角相等例3、已知，如图，四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是AD、BC的中点，BA、FE的延长线相交于点M，CD、FE的延长线相交于点N.试说明：∠AME＝∠DNE.【解题思路】因E、F分别是AD、BC的中点，可考虑连结BD，构造出中位线.【解】连结BD，取BD的中点O，连结OE、OF.易得EO＝AB，且EO∥AB，FO＝CD，且FO∥CD.∴∠OEF＝∠AME，∠OFE＝∠DNE.又因为AB＝CD，∴EO＝FO，∴∠OEF＝∠OFE，∴∠AME＝∠DNE.【方法归纳】要善于利用点构造“中位线”研究相关问题，一般是由“中点”联想到“中位线”，多数情况下这个想法是行得通的.对应练习：如图所示，在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则AB边的取值范围是（）A.B.C.D.答案：B知识点4：应用三角形中位线定理证明线段相等例4、如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE，M，N分别是BE、CD的中点，过M、N的直线交AB于P，交AC于点Q.求证：AP=AQ.【解题思路】欲证AP=AQ，可考虑证明.根据题设条件，可取BC的中点F，连结FM，FN，（如图3）则MF、NF分别是△BCE和△BCD的中位线.利用BD=CE易证FM=FN，从而，由平行线的性质可知，于是成立，进而结论成立.【解】证明：取BC的中点F，连结FM，FN，由条件知：MF、NF分别是△BCE和△BCD的中位线，∴FM∥AC，FN∥BD，，∴.又因为BD=CE，所以FM=FN。∴，所以，所以AP=AQ.【方法归纳】若已知条件中有中点，常取某一边中点，构造三角形的中位线，运用三角形中位线性质定理得到某些线段相等或角相等.对应练习：已知，如图，四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且AC＝BD，E、F分别是AD、BC的中点，EF分别交AC、BD于点M、N.试说明：OM＝ON.解：取AB的中点P，连结EP、FP.易得EP＝BD且EP∥BD，FP＝AC且FP∥AC.∴∠DNE＝∠PEN，∠CMF＝∠PFM，又 AC＝BD，∴PE＝PF，∴∠PEN＝∠PFM，∴∠DNE＝∠CMF，∴OM＝ON.知识点5：应用中位线定理求面积例5、如图，在△ABC中，BC>AC,点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF，若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.【解题思路】由题意，易得EF∥BD，，并推出△AEF∽△ABD，，即，从而可求出△ABD的面积.【解】，∴.又 ，∴CF是△ACD的中线，∴点F是AD的中点. 点E是AB的中点，∴EF∥BD，∴△AEF∽△ABD...