九年级数学上册 第4章 锐角三角函数 直角三角形的角学案 （新版）湘教版-（新版）湘教版初中九年级上册数学学案VIP免费

锐角三角函数【学习目标】1．通过复习，使学生系统地掌握本章知识，熟练应用三角函数进行计算．2．掌握直角三角形的边与边，角与角，边与角的关系，能应用这些关系解决相关的问题．3．通过解直角三角形的复习，体会数学在解决实际问题中的作用．【学习重点】解直角三角形及其应用．【学习难点】解直角三角形的实际应用。情景导入生成问题【本章知识结构】【基础知识梳理】1．直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中，∠A＋∠B＝90°，a2＋b2＝c2；sinA＝，cosA＝，tanA＝．2．互余两角三角函数间的关系：sinA＝cos(90°－A)；cosA＝sin(90°－A)．3．同角三角函数间的关系：sin2α＋cos2α＝1；tanα＝．4．解直角三角形的基本类型：(1)在直角三角形中，除直角外有5个元素(即3条边，2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有1个是边)，就可以求出其余的3个未知元素．(2)在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形．自学互研生成能力【例1】已知，如图，D是△ABC中BC边的中点，∠BAD＝90°，tanB＝，求sin∠DAC.解：过D作DE∥AB交AC于E，则∠ADE＝∠BAD＝90°，由tanB＝，得＝，设AD＝2k，AB＝3k，∵D是△ABC中BC边的中点，∴DE＝k，∴在Rt△ADE中，AE＝k，∴sin∠DAC＝＝＝.【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，a＝5.求∠B、b、c.解：∵∠B＝90°－∠A＝60°，又∵tanB＝，∴b＝a·tanB＝5·tan60°＝5.∵sinA＝，∴c＝＝＝10.【例3】如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG＝30°，在E处测得∠AFG＝60°，CE＝8米，仪器高度CD＝1.5米，求这棵树AB的高度(结果保留两位有效数字，≈1.732)．解：根据题意得：四边形DCEF、DCBG是矩形，∴GB＝EF＝CD＝1.5米，DF＝CE＝8米．设AG＝x米，GF＝y米，在Rt△AFG中，tan∠AFG＝tan60°＝＝＝，在Rt△ADG中，tan∠ADG＝tan30°＝＝＝，二者联立，解得x＝4，y＝4.∴AG＝4米，FG＝4米．∴AB＝AG＋GB＝4＋1.5≈8.4(米)．∴这棵树AB的高度约为8.4米．【例4】如图，海上有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°，航行12海里到达D点，在D点测得小岛A在北偏东30°，如果渔船继续向正东方向行驶，问是否有触礁的危险？解：过A作AC⊥BD于点C.在Rt△ACD中，根据题意得：∠ADC＝60°，∠DAC＝30°，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°.∴AD＝BD＝12.∴AC＝AD·sin60°＝6≈10>8，所以没有危险．交流展示生成新知【交流预展】1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．【展示提升】知识模块一锐角三角函数的概念知识模块二解直角三角形知识模块三解直角三角形的应用检测反馈达成目标1．在△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，则cosB的值为(D)A.B.C.D.2．已知cosα＝，且β＝90°－α，则tanβ＝____；若3tanα－2cos30°＝0，则锐角α＝__30°__．3．如图所示，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA＝，则下列结论正确的有__①②③__(填序号)．①DE＝3cm②BE＝1cm③菱形的面积为15cm2④BD＝2cm4．如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°，然后沿坡角为30°的斜坡走100米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30°，求山AB的高度．(参考数据：≈1.73)解：过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，设AB＝x，在Rt△DEC中，∠DCE＝30°，CD＝100，∴DE＝20，CE＝50.在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴BC＝x.则AF＝AB－BF＝AB－DE＝x－50，DF＝BE＝BC＋CE＝x＋50.在Rt△AFD中，∠ADF＝30°，tan30°＝，∴＝.∴x＝50(3＋)≈236.6.答：山AB的高度约为236.6米。课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________