第4课时直角三角形相似的判定1．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似．2．两直角三角形相似的判定方法有两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例和直角边、斜边对应成比例四种．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5；在Rt△DEF中，∠E＝90°，DE＝6，若要使Rt△ABC∽Rt△DFE，则DF＝________.答案：104．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上任一点，要使Rt△CAB∽Rt△CBD，则需添加的条件是____________．(任写一个)答案：如∠CBD＝∠A或∠CDB＝∠CBA或CB2＝CD·CA或＝等，其他合理亦可．直角三角形相似的运用【例题】阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达，顶部不易到达)，他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．(1)所需的测量工具是_____________________；(2)请在下图中画出测量示意图；(3)设树AB的高度为x，请用所测数据(用小写字母表示)求出x.分析：树与地面垂直，借助平行光线构造出两个相似的直角三角形，利用相似三角形对应边成比例，将树高转化为可以测量的量．解：(1)皮尺(或直尺)、标杆．(2)测量示意图如下图所示．(3)如下图，测得标杆DE＝a，树和标杆的影长分别为AC＝b，DF＝c.∵FE∥CB，∴∠EFD＝∠BCA.又∵∠EDF＝∠BAC＝90°，∴△DEF∽△ABC.∴＝.∴＝.∴x＝.针对性训练见当堂检测·基础达标栏目第6题1．在Rt△ABC和Rt△DEF中，若∠A＝30°，∠D＝60°，则()．A．Rt△ABC和Rt△DEF不相似B．Rt△ABC∽Rt△DEFC．Rt△ABC∽Rt△DFED．Rt△ABC和Rt△DEF相似答案：D2．判定△ABC∽△DEF，已知∠C＝∠F＝90°，则还应有条件()．A．∠B＝∠EB.＝C.＝D．以上说法都对答案：D3.如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF=90°，则一定有()．A．△ADE∽△AEFB．△ECF∽△AEFC．△ADE∽△ECFD．△AEF∽△ABF解析：在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，∴∠CFE+∠CEF=90°.又∠AEF=90°，∴∠CEF+∠DEA=90°.∴∠DEA=∠CFE.∴△ADE∽△ECF.答案：C4．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，AB∶AC＝5∶6，A′B′＝1，当A′C′＝__________时，Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.答案：1.25．△ABC和△DEF中，∠C＝∠E＝90°，AC＝3，AB＝7，EF＝12，DF＝28，则Rt△ABC∽__________.解析：由于∠C＝∠E＝90°，∴AB和DF分别为Rt△ABC和Rt△DEF的斜边．又∵＝，＝＝，∴＝.∴Rt△ABC∽Rt△FDE.答案：Rt△FDE6.如图，在直角坐标系中有两点A(4,0)、B(0,2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为__________或__________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似．(至少写出两个满足条件的点的坐标)解析：在Rt△AOB中，∵，∴使，而OB=2，∴|OC|=1.答案：(1,0)或(－1,0)7.已知在△ABC中，AB=AC.如图，D是线段BC上一点，连接AD，若∠B=∠BAD.求证：△BAC∽△BDA.证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵∠B=∠BAD，∴∠BAD=∠C.又∵∠B=∠B，∴△BAC∽△BDA.
