22.3实践与探索【学习目标】（一）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解有关：数字问题、面积问题、增长率问题、储蓄问题、经营问题等．（二）能力训练点：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，以及学生近似数运算的能力。培养用数学的意识．【知识归纳】列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即1．审题；2．设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种；3．找等量关系列方程；4．解方程；5．判断根是否符合题意；6．作出正确的答案．【基础知识】列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题，然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决，要正确地列出方程，只有在透彻理解题意的基础上，才能恰当地设出未知数，准确地找出已知量与未知量之间的等量关系，进而达到求解的目的．列一元二次方程解应用题，这类问题主要有：数字问题、面积问题、增长率问题、储蓄问题、经营问题等．【例题精讲】例1：一个两位数，十位上数字与个位上数字之和为5；把十位上的数字与个位上数字互换后再乘以原数得736，求原来两位数．剖析：设原来两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为(5－x)，原来的两位数就是：10(5－x)＋x．新的两位数个位上的数字为(5－x)，十位上的数字为x，新的两位数就是：10x＋(5－x)．于是根据题意可列出方程：［10（5－x）＋x］［10x＋(5－x)］＝736．解：设原来两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为(5－x)．根据题意，得［10（5－x）＋x］［10x＋(5－x)］＝736．整理，得x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3．当x＝2时，5－x＝5－2＝3；当x＝3时，5－x＝5－3＝2．答：原来的两位数是32或23．说明：解决这类问题，关键是写出表示这个数的代数式，若一个两位数为，则这个两位数可表示为10a＋b；若一个三位数为，则这个三位数可表示为100a＋10b＋C．例2：（1）据2001年中国环境状况公报，我国由水蚀和风蚀造成的水土流失面积达356万平方千米．其中风蚀造成的水土流失面积比水蚀造成的水土流失面积多达26万平方千米．问水蚀与风蚀造成的水土流失面积各多少平方千米？（2）某省重视治理水土流失问题，2001年治理了水土流失400平方千米，该省逐年加大治理力度，计划以后两年每年治理水土流失面积都比前一年增长一个相同的百分数，到2003年底，使这三年治理的水土流失面积达到1324平方千米．求该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数．剖析：此题主要考查运用一元二次方程解有关增长率的问题，设这两年平均每年增长的百分数为x，那么2002年治理水土流失面积为400(1＋x)平方千米，2003年治理水土流失面积为400(1＋x)2平方千米．解：（1）设水蚀造成的水土流失面积为x万平方千米，则风蚀造成的水土流失面积为(x＋26)万平方千米，则x＋(x＋26)＝356，解之，得x＝165．答：水蚀与风蚀造成的水土流失面积分别为165万平方千米和191万平方千米．(2)设这两年治理水土流失面积每年增长的百分数为x，则400＋400(1＋x)＋400(1＋x)2＝1324整理，得100x2＋300x－31＝0．解之，得x1＝0．1，x2＝－3．1．x＝－3．1不合题意，所以只能取x＝0．1＝10％．答：平均每年的增长的百分数为10％说明：有关增长率的问题，往往要用到公式：M＝a(1＋x)n，这里a表示增长的基数，x表示每次的增长率，n表示增长的次数，M表示增长n次后的量；这个公式也同样适用于降低率的问题，只不过这时的增长率为负，即M＝a(1－x)n，其中x为降低率．例3:如图12—1，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路(两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直)，把这块耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田的面积是570平方米，问道路应该多宽?剖析：设路宽为x米，那么两条纵路所占的面积为2·x·20＝40x（米2），一条横路所占的面积为32x(米2)．纵路与横路所占的面积都包括两个小正方形ABCD、EFGH的面积，所以三条路所占耕地面积应当是(40x＋32x－2x2)米2，根据题意可列出方程32×20－（40x＋32x－2x2）＝570．解：设道路宽为x米，根据题意，得32×20－（40x＋32x－2x2）＝570．整理，得x2－36x＋35＝0．解这个方程，得x1＝1，x2＝3...
