角平分线典例分析例1如图4—12—5,直线AB、CD相交于点O,且∠BOC=80°,OE平分∠BOC,OF为OE的反向延长线.(1)求∠BOD和∠FOD的度数;(2)OF平分∠AOD吗?思路分析:①首先要弄清反向延长的含义:OE、OF在同一条直线上;②直线AB、CD相交于点O,则构成了两个平角∠A0lB、∠COD;③要说明OF为∠AOD的平分线,就是要根据已知的条件得到∠FOD=∠AOF或∠FOD=∠AOD或∠AOD=2∠FOD=2∠AOF即可.解:(1)∵∠BOC=80°,OE平分∠BOC,∴∠BOE=∠BOC=×80°=40°,又∵CD为直线,∴∠BOD+∠BOC=180°,∴∠BOD=180°-80°=100°;∵OF为OE的反向延长线,∴∠BOE+∠BOD+∠FOD=180°,∴∠FOD=180°-40°-100°=40°.(2)同理∠BOD+∠AOD=180°,∴∠AOD=180°-100。=80°,∴∠AOF=∠AOD-∠FOD=80°-40°=40°,∴∠AOF=∠FOD,∴OF为∠AOD的平分线.例2如图4-12-6,OC是∠AOD的平分线,OE是∠BOD的平分线.(1)如果∠AOB=130°,那么∠COE是多少度?(2)如果∠COD=20°,那么∠BOE是多少度?思路分析:本题的关键是依据图形和已知条件,灵活运用角的和差倍分代换,特别注意角平分线的应用;本题要求∠COE是多少度,直接求不出∠COD和∠EOD的度数,但是我们可以根据角平分线的定义得到∠COD=∠AOD,∠EOD=∠BOD,即∠COE=∠AOB,把∠COD、∠EOD这两个未知量的和当作一个整体看待,这种思想叫整体思想,以后我们会经常用到这种数学思想.解:(1)∵OC是∠AOD的平分线,∴∠COD=∠AOD,∵OE是∠BOD的平分线,∴∠EOD=∠BOD,∴∠COD+∠EOD=(∠AOD+∠BOD),∵∠COD+∠EOD=∠COE,∠AOD+∠BOD=∠AOB,∴∠COE=∠AOB=×130°=65°(2)∵∠COE=65°,∠COD=20°,∴∠EOD=∠COE-∠COD=65°-20°=45°,∵OE是∠BOD的平分线,∴∠BOE=∠EOD=45°.突破易错☆挑战零失误规律总结善于总结☆触类旁通1方法点拨:角平分线应满足以下两个条件:(1)是从角的顶点引出的射线,即角的平分线与该角有共同的顶点,且在角的内部;(2)把已知的角分成了两个角,且这两个角相等.角平分线定义有以下两层含义:如图4—12—5,(1)角平分线把这个角分成两个相等的角,即∵OE平分∠BOC,∴∠BOE=∠COE.(2)把一个角分成两个相等的角的射线是角的平分线,即∵∠AOF=∠FOD,∴OF为∠AOD的平分线.2变式引申:如图4—12—7,OM、OB、ON是∠AOC内的三条射线,0M、ON分别是∠AOB、∠BOC的平分线,∠NOC是∠AOM的3倍,∠BON比∠MOB大20°.求∠AOC的度数.