九年级数学上册 2.6 利用一元二次方程解决几何问题（第1课时）导学案2 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中九年级上册数学学案VIP专享VIP免费

应用一元二次方程第1课时利用一元二次方程解决几何问题１、掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；２、理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题.自学指导阅读教材第52至53页，完成预习内容.知识探究如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)分析：封面的长宽之比是27∶21=9∶7，中央的长方形的长宽之比也应是9∶7，若设中央的长方形的长和宽分别是9acm和7acm，由此得上下边衬与左右边衬的宽度之比是(27-9a)∶(21-7a).怎样设未知数可以更简单的解决上面的问题？请你试一试.自学反馈要为一幅长29cm，宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米？解：设镜框边的宽度为xcm，则有(29+2x)(22+2x)=(14+1)×(29×22)，即4x2+102x-159.5=0，解得x1=1.48，x2=-26.98(舍去).答：镜框边的宽度应是1.48cm.本题和上题一样，利用矩形的面积公式作为相等关系列方程.活动1小组讨论例1例1如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200海里处有一目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向.一艘军舰沿A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.(1).小岛D与小岛F相距多少海里?(2).已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到0.1海里)解:(1)连接DF,则DF⊥BC.∠C=450.例2如图，某小区规划在一个长为40米、宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽度的马路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积都是144m2，求马路的宽.解：假设三条马路修在如图所示位置.设马路宽为x，则有(40-2x)(26-x)=144×6，化简，得:x2-46x+88=0，解得：x1=2，x2=44，由题意：40-2x>0，26-x>0，则x<20.故x2=44不合题意，应舍去，∴x=2.答：马路的宽为2m.这类修路问题，通常采用平移方法，使剩余部分为一完整矩形.活动2跟踪训练1.用一根长40cm的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75cm2.(1)求此长方形的宽是多少？(2)能围成一个面积为101cm2的长方形吗？如能，说明围法.(3)若设围成一个长方形的面积为S(cm2)，长方形的宽为x(cm)，求S与x的函数关系式，并求出当x为何值时，S的值最大？最大面积为多少？解：(1)设此长方形的宽为xcm，则长为(20-x)cm.根据题意，得x(20-x)=75.解得：x1=5，x2=15(舍去).答：此长方形的宽是5cm.(2)不能.由x(20-x)=101，即x2-20x+101=0，知Δ=202-4×101=-4<0，方程无解，故不能围成一个面积为101cm2的长方形.(3)S=x(20-x)=-x2+20x.由S=-x2+20x=-(x-10)2+100知当x=10时，S的值最大，最大面积为100cm2.怎样解决(2)中的能与不能的问题；用配方法解决第(3)问.活动3课堂小结用一元二次方程解决的特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程.