一元二次方程根的判别式【学习目标】1．理解一元二次方程的根的判别式，掌握b2－4ac与一元二次方程根之间的关系．2．不解方程，会利用根的判别式，判断一元二次方程的根的情况．3．通过根的判别式的学习，培养学生观察、归纳的能力，感受分类讨论的数学思想．【学习重点】会利用一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程根的情况．【学习难点】理解一元二次方程的根的判别式与一元二次方程根之间的关系。情景导入生成问题回顾：1．一元二次方程的求根公式是x＝(b2－4ac≥0)．2．用公式法解下列方程：(1)2x2＋x－1＝0；(2)x2－2x＋3＝0；解：∵b2－4ac＝12－4×2×(－1)＝9,解：∵b2－4ac＝0，∴x＝＝.∴x＝＝.∴x1＝，x2＝－1.∴x1＝x2＝.(3)2x2－2x＋1＝0.解：∵b2－4ac＝(－2)2－4×2×1＝－4，∴此方程无解．自学互研生成能力阅读教材P43～P44的“议一议”，完成下面的内容：观察情景导入中的T2，一元二次方程的根有哪几种情况？方程(1)的两个实数根不相等(选填“相等”或“不相等”)；方程(2)的两个实数根相等(选填“相等”或“不相等”)；方程(3)无实数根(选填“有”或“无”)．师生合作探究并归纳出一元二次方程的根的判别式．归纳：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况由b2－4ac确定，我们把b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式(通常用“Δ”来表示)．当b2－4ac>0时⇒有两个不相等的实数根，x1＝，x2＝；当b2－4ac＝0时⇒有两个相等的实数根，x1＝x2＝－；当b2－4ac<0时⇒无实数根．思考：一元二次方程有实根的条件是：b2－4ac≥0．阅读教材P44例题，解答下面的例题．【例1】不解方程，判定下列方程的根的情况．(1)3x2＋4x－3＝0；(2)4x2＝12x－9；(3)7y＝5(y2＋1)．解：(1)因为Δ＝b2－4ac＝42－4×3×(－3)＝52>0，所以，原方程有两个不相等的实数根．(2)将原方程化为一般形式，得4x2－12x＋9＝0，因为Δ＝b2－4ac＝(－12)2－4×4×9＝0.所以，原方程有两个相等的实数根．(3)将原方程化为一般形式，得5y2－7y＋5＝0.因为Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×5×5＝－51<0，所以，原方程没有实数根．点拨：运用根的判别式判定一元二次方程根的情况时，必须先将方程化为一般形式，确定a，b，c的值，再计算b2－4ac的值，从而确定根的情况．【例2】已知方程的根的情况，求字母的值(或取值范围)．(1)m取什么值时，关于x的方程x2－2x＋m－2＝0有两个相等的实数根？解：∵b2－4ac＝(－2)2－4×1×(m－2)＝12－4m.又∵方程有两个相等的实数根．∴b2－4ac＝0，即12－4m＝0.解得m＝3.(2)已知关于x的方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．解：∵b2－4ac＝22－4×1×(－k)＝4＋4k，又∵方程有两个不相等的实数根，∴b2－4ac>0，即4＋4k>0，解得k>－1.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一一元二次方程的根的判别式知识模块二利用根的判别式求字母的值或取值范围检测反馈达成目标1．一元二次方程x2－4x＋5＝0的根的情况是(D)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根2．(苏州中考)下列关于x的方程有实数根的是(C)A．x2－x＋1＝0B．x2＋x＋1＝0C．(x－1)(x＋2)＝0D．(x－1)2＋1＝03．一元二次方程x2－2x＋m＝0总有实数根，则m应满足的条件是(D)A．m>1B．m＝1C．m<1D．m≤14．已知(m－1)x2＋2mx＋(m－1)＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是(C)A．m>B．m<且m≠1C．m>且m≠1D.
