第21章知识升华一、知识结构图二、重、难点梳理1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．事实上（a≥0）表示非负数a的算术平方根.2．满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式（即被开方数不含分母）；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．如等是最简二次根式.但等不是最简二次根式.3．几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式.如是同类二次根式.4、二次根式的主要性质（1）（a≥0）是一个非负数，即≥0（a≥0）；（2）()2=a(a≥0)；（3）；（4）二次根式的乘法法则：（5）二次根式的除法法则：5、二次根式的运算（1）二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并（类似整式中的合并同类项）.（2）二次根式的乘除：二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变.三、考点例析考点1:最简二次根式例1、(2010年哈尔滨市)在下列根式中,最简二次根式的个数为()A．4个B.3个C.2个D.1个分析:是最简二次根式,中有因式可以开出,中有因数可以开出，所以不是最简二次根式.故选C.考点2:同类二次根式例2、(2010年北京市)下列根式中,能与合并的是()A．B.C.D.分析:能与合并的应是的同类二次根式,这几个二次根式都不是最简二次根式,应先化为最简二次根式,=;;;.所以与是同类二次根式的是,故选B.例3、(2010年青海省)若最简二次根式与的被开方数相同,则的值为()A．B.C.D..分析:最简二次根式与的被开方数相同;即,解得，故选C.考点3:二次根式的运算例4、(2010年山东省东营市)下列计算正确的是()A．B.C.D..分析:由二次根式的性质和运算法则的.而B选项中明显用被开方数除以非被开方数,错用二次根式除法法则;C选项用平方差公式即可得4－5=－1;D选项丢了=-1这一项.故选A.例5、（2010年江西省）化简得()A．－2B.C.2D.分析:由二次根式的性质和运算法则得,.故选A.考点4:化简例6、（2010年北京市）计算分析：原式=.考点5:运用二次根式的性质化简例7、（2010年江西省）已知．分析：例8、（2010年绍兴）化简得（）A．2B.C.－2D..分析:由,所以==,故应选A.考点6：二次根式成立的条件例9、（2010年山西省课该实验区）代数式有意义时，字母的取值范围（）A．B.C.D..分析:由分母不为零和二次根式的被开方数为非负数，所以即故选A考点7：估算二次根式例10、（2010年沈阳课改）估算的值为()A．在5和6之间B.在6和7之间C.在7和8之间D.在8和9之间.分析：因为即，所以.故选C.四、热点、易混点追踪1、概念理解模糊、审题不清例1、有下列命题：（1）二次根式的被开方数是相负数，则其值是非负数；（2）是最简二次根式；（3）若是二次根式，则.其中正确的个数有（）个.A、0B、1C、2D、3错解：选D.剖析：本例中，（1）错在对二次根式概念的狭隘理解，认为形如的式子就是二次根式，而二次根式的值是非负数的.事实上，－2等也是二次根式，但它是非正数.（2）错在忽视了的条件.（3）错在将二次根式的概念与其性质混为一谈了，事实上只要满足即可.故选A.例2、已知与是同类二次根式，则的值为（）A、4B、5C、无数个D、非上述答案错解：选A.剖析：选项A错在是解而得，这考虑仅仅是最简二次根式的情况.当或52×5也是同类二次根式，故选C.2、对性质成立的条件理解不透例3、有下列各式：（1）；（2）；（3）一定成立的有（）个.A、0B、1C、2D、3错解：选D.剖析：（1）错在不一定是非负数，（2）错在忽视了的条件，（3）错在等式要成立，必须满足.故选A.3、忽视几何图形中的条件限制例4、已知为△ABC的三边长，求的值.错解：原式=.剖析：本例错在忽视了“三角形两边之和大于第三边”条件的限制，而导致错误.原式=.4、计算不依据法则，随意而为例5、下列计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.正确的个数有（）A、3B、4C、5D、非上述答案错解：选C.剖析：（1）错在臆造；（2）错在合并同类二次根式是只考虑了“系数”；（3）错在套用了整数与分数相加的法则；（4）、（5）错在想巧算、快算反而弄巧成拙.故5个都错，选D.5、求解顾后不瞻前例6、若有意义，则的取值范围是.错解：由题意，得，解得.剖析：本例...
