九年级数学上册 21.4 二次函数的应用（第2课时）精品导学案 （新版）沪科版-（新版）沪科版初中九年级上册数学学案VIP专享VIP免费

第2课时二次函数的应用(2)1．在实际问题中求抛物线的解析式时，为使问题简单，通常以抛物线的顶点为原点建立直角坐标系．2．下图是一个抛物线形拱桥，量得两个数据，画在纸上的情形．小明说只要建立适当的直角坐标系，就能求出此抛物线的表达式．你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式．解：正确．建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax2(a≠0)，把(20，－6)代入，得－6＝a·202.解得a＝－，∴y＝－x2.构建二次函数模型【例题】我国新发射的一颗返回式卫星，为便于回收，设计人员将它的每一个纵切面边缘都设计为抛物线型．如图(1)所示为其中一个切面的边缘线图形，若切面底面宽度AB＝1.8m，高度OC＝2.4m，试建立适当的直角坐标系，求这条边缘线所在抛物线的解析式．解：以O点为坐标原点，以OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系如图(2)，设抛物线的解析式为y＝ax2(a≠0)，把点A(－0.9，－2.4)代入，得a＝－，所以抛物线的解析式为y＝－x2.这道题是典型的数形结合的题型，根据几何图形的直观性，解决抽象的代数问题，使解答简捷、灵活、流畅，体现了数形结合的优越性，激发了学生兴趣，增强了用数形结合思想指导解题的意向．数形结合的思想是很重要的数学思想，也是分析问题、解决问题的有力工具．在今后的学习中，我们要逐步加深对它的理解，并且要学会这种解决问题的方法．针对性训练见当堂检测·基础达标栏目第3题1．学校要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA．O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．且在过OA的任意平面上的抛物线如图所示，建立平面直角坐标系(如图)，水流喷出的高度y(m)与水面距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋x＋，若不计其他因素，水池的半径至少要()米，才能使喷出的水不至于落在池外．A．3B．C．3或D．1.5解析：把y＝0代入y＝－x2＋x＋，得－x2＋x＋＝0，∴2x2－5x－3＝0.∴x1＝3，x2＝－.又 x＞0，∴x＝3.∴OB＝3.∴半径至少是3米．答案：A2．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为______米．解析：建立如图所示的坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，A(0.5，－1.5)、B(2,0)、O(0,0)，所以a＝2，b＝－4，c＝0.所以解析式为y＝2x2－4x.所以顶点坐标为(1，－2)，即最低点距地面的距离为2.5－2＝0.5米．答案：0.53．如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC．点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC＝4米，点B到水平面距离为2米，OC＝8米．(1)请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；(2)为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省(支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑)时的点P？(无需证明)(3)为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少？(请写出求解过程)分析：此题考查了二次函数的实际应用问题．解此题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数解题．(1)以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，可设抛物线的函数解析式为y＝ax2，又由点A在抛物线上，即可求得此抛物线的函数解析式；(2)延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，连接BD交OC于点P，则点P即为所求；(3)首先根据题意求得点B与D的坐标，设直线BD的函数解析式为y＝kx＋b，利用待定系数法即可求得直线BD的函数解析式，把x＝0代入求出的解析式，即可求得点P的坐标．解：(1)以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，如图，设抛物线的函数解析式为y=ax2，由题意知点A的坐标为(4,8)． 点A在抛物线上，∴8=a×42，解得a=，∴所求抛物线的函数解析式为y...